蚌线

有定直线 ${\displaystyle l}$ 和直线外一固定点 ${\displaystyle O}$，过点 ${\displaystyle O}$ 的动直线与 ${\displaystyle l}$ 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 ${\displaystyle l}$ 关于极点 ${\displaystyle O}$ 的蚌线 ${\displaystyle c}$ ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 ${\displaystyle l}$ 。[4][5]

通常记 ${\displaystyle l}$ 与点 ${\displaystyle O}$ 的距离为 ${\displaystyle a}$ ，迹距为 ${\displaystyle b}$。根据 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的关系，内支有三种不同形态：[4]

• 当 ${\displaystyle b<a}$ 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
• 当 ${\displaystyle a=b}$ 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
• 当 ${\displaystyle b>a}$ 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 ${\displaystyle l}$ 垂直并通过极点 ${\displaystyle O}$。[3]

尼科米迪斯发明的工具，用来绘制直线蚌线的外支

古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。[7][6]

帕普斯将该曲线称为“螺线”（），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（）。[7]

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。[8][9]

借助蚌线作出长度为${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$的线段

作线段 ${\displaystyle AB=1}$ 。以点 ${\displaystyle A}$ 为圆心、${\displaystyle AB}$ 为半径作圆，以点 ${\displaystyle B}$ 为圆心、${\displaystyle AB}$ 为半径作圆，交于点 ${\displaystyle C}$ 。

过点 ${\displaystyle A}$ 作线段 ${\displaystyle AC}$ 的垂线 ${\displaystyle l}$。以点 ${\displaystyle C}$ 为极点、${\displaystyle AB}$ 为迹距作直线 ${\displaystyle l}$ 的蚌线外支。

延长 ${\displaystyle BA}$ 交蚌线于点 ${\displaystyle D}$ 。延长 ${\displaystyle AB}$ 交圆 ${\displaystyle B}$ 于点 ${\displaystyle E}$ 。连接 ${\displaystyle CD}$ 交 ${\displaystyle l}$ 于点 ${\displaystyle F}$ 。线段 ${\displaystyle CF}$ 的长度即为 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ 。[7]

代数证明

设 ${\displaystyle CF=x}$ 。显然 ${\displaystyle x}$ 是正实数。 因为 ${\displaystyle \triangle AFC}$ 为直角三角形，所以 ${\displaystyle AF={\sqrt {CF^{2}-CA^{2}}}={\sqrt {x^{2}-1}}}$ 。 又因为 ${\displaystyle \triangle ADF\sim \triangle EDC}$ ，所以 ${\displaystyle AF={EC \over CD}\cdot FD={{\sqrt {3}} \over x+1}}$ 。 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}={{\sqrt {3}} \over x+1}}$ ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)^{2}=3}$ ${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-2x-4=0}$ ${\displaystyle (x+2)(x^{3}-2)=0}$ ${\displaystyle x^{3}-2=0}$ ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}}$

尼科美迪斯的几何证明
作长方形 ${\displaystyle ABGH}$ ，${\displaystyle AH=BG=2AB=2GH}$ 。 延长 ${\displaystyle DH}$ ，延长 ${\displaystyle BG}$ ，交于点 ${\displaystyle K}$ 。 连接 ${\displaystyle EH}$ ，交 ${\displaystyle BG}$ 于点 ${\displaystyle L}$ ，点 ${\displaystyle L}$ 是 ${\displaystyle BG}$ 中点。 取 ${\displaystyle AB}$ 中点 ${\displaystyle M}$，连接 ${\displaystyle MC}$ 。
${\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}$ ${\displaystyle KG:GH=HA:AD}$ ${\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}$ ${\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}$ ${\displaystyle \because FD=AB=GL}$ ${\displaystyle \therefore KG=FC}$ ${\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}$ ${\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}$ ${\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}$ ${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$ ${\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$ ${\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}$ ${\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}$
${\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}$ ${\displaystyle HA=2GH}$ ${\displaystyle \therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH}$ [7]

借助蚌线三等分任意锐角

作任意直角三角形 ${\displaystyle \triangle OAB}$ ，点 ${\displaystyle A}$ 为垂足。以点 ${\displaystyle O}$ 为极点、${\displaystyle 2\ OB}$ 为迹距作直线 ${\displaystyle AB}$ 的蚌线外支。

过点 ${\displaystyle B}$ 作直线 ${\displaystyle AB}$ 的垂线，交蚌线于点 ${\displaystyle C}$。 ${\displaystyle OC}$ 就是 ${\displaystyle \angle AOB}$ 的三等分线。[7]

证明
作 ${\displaystyle OC}$ 与 ${\displaystyle AB}$ 的交点 ${\displaystyle D}$ 。取 ${\displaystyle CD}$ 的中点 ${\displaystyle E}$ ，连接 ${\displaystyle BE}$ 。 根据蚌线和直角三角形的性质，可知 ${\displaystyle OB=CE=DE=BE}$ 。 易证得 ${\displaystyle \angle BOD=\angle BED=\angle EBC+\angle C=2\angle C=2\angle AOD}$ 。 故 ${\displaystyle \angle AOD={1 \over 3}\angle AOB}$ 。[7]

在极坐标系中，设点 ${\displaystyle O}$ 为坐标原点，则直线 ${\displaystyle l}$ 和蚌线 ${\displaystyle c}$ 的方程可以表示为：[4]

${\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}$

${\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}$

${\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

在直角坐标系中，设点 ${\displaystyle O}$ 为坐标原点，则直线 ${\displaystyle l}$ 和蚌线 ${\displaystyle c}$ 的方程可以表示为：[4]

${\displaystyle l:\ x=a}$

${\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}$

${\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

或用参数方程表示为：[4]

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}$

（上下正负号同号，${\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$）

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。[4]