量子穿隧效應

弗里德里希·洪德

1927年，在研究分子光譜時，弗里德里希·洪德發現，對於雙阱位勢案例，偶對稱量子態與奇對稱量子態會因量子疊加形成非定常波包，其會從其中一個阱穿越過中間障礙到另外一個阱，然後又穿越回來，這樣往往返返的震盪。洪德定量給出震盪週期與位勢壘的高度、寬度之間的關係。[1]^:4[5]

喬治·伽莫夫於1928年，發表論文用量子穿隧效應解釋原子核的阿爾法衰變。在經典力學裏，粒子會被牢牢地束縛於原子核內，因為粒子需要超強的能量才能逃出原子核的位勢。經典力學無法解釋阿爾法衰變。在量子力學裏，粒子不需要具有比位勢還強勁的能量，就可以逃出原子核的束縛；粒子可以機率性的穿越過原子核的位勢，從而逃出原子核的束縛。伽莫夫想出原子核的位勢模型，其為吸引性核位勢與排斥性庫侖位勢共同形成。藉著這模型，他用薛丁格方程式推導出進行阿爾法衰變的放射性粒子的半衰期與能量的關係方程式，即蓋革-努塔爾定律。[1]^:2

馬克斯·玻恩在一場伽莫夫的專題研討會裡，明白了伽莫夫理論的重要性，玻恩認為，這理論可能可以應用於其它領域，例如，電子從金屬表面冷發射的現象。玻恩是量子力學大師，他發現伽莫夫理論存在瑕疵，伽莫夫理論所使用的哈密頓量是厄米算符，其特徵值必須是實數，而不是伽莫夫所假定的複數。為此，經過幾個星期的努力，玻恩將這理論加以修改，並仍舊維持不變原先的結果。伽莫夫提出的阿爾法衰變機制是首次成功應用量子力學於核子現象的案例。[1]^:2-3[6]^:322-323

同時期，普林斯頓大學副教授羅納德·格尼閱讀了兩篇關於量子穿隧效應的論文。其中一篇的作者是罗伯特·奥本海默。在這篇論文裡，奥本海默將氫原子激發態的自電離歸因於量子穿隧效應，在原子裡，束縛電子的庫侖位勢阱被強勁電場改變，因此形成有限位勢壘，其可被電子穿越而過。[7]另一篇的作者是拉爾夫·福勒與羅特哈·諾德海姆。他們研究發現，一維量子系統具有某些很有意思的量子穿隧性質，可以用來解釋電子的冷發射，即施加強勁外電場於冷金屬可以促成電子被發射的現象。[7]早在1922年，朱利斯·利廉費德就已觀察到電子冷發射現象，但物理學者最初都無法對於這現象給出合理解釋。格尼認為，除了電子冷發射現象以外，量子穿隧效應也可以用來解釋阿爾法衰變。他找到欧内斯特·卢瑟福的學生，普林斯頓大學副教授愛德華·康登一起合作研究，很快地，他們也獨立地研究出阿爾法衰變的量子穿隧效應。[1]^:3[8]

之後，兩組物理團隊分別繼續發表了一些關於量子穿隧效應的論文。伽莫夫的論文指出，低能量質子或阿爾法粒子可以穿越進入原子核，不管它們的能量是否高過位勢壘的高度。格尼的論文詳細地解釋了谐振隧穿的物理機制。1931年，華特·蕭特基給出德文術語「wellenmechanische Tunneleffekt」，即「波動力學穿隧效應」。隔年，雅科夫·弗伦克尔在著作《波動力學，基本理論》裡，首先給出英文術語「tunnel effect」。[4]在30年代與40年代，物理學者嘗試用電子穿隧機制來解釋在金屬半導體系統裡電子流的整流性質，但遭遇到很多困難，時常會得到相反的答案。直到1947年，由於發現電晶體，電子穿隧效應才又成為熱門研究論題。[1]^:4

江崎玲於奈於1957年發明了隧道二極體，這器件展示出固體的電子穿隧性質。隧道二極體是首個被發明的量子電子器件。[9]3年後，伊瓦爾·賈埃弗做實驗證實在超導體裡也會出現量子穿隧效應，因此展示出超導體所具有的能隙，其為BCS理论的重要預測之一。1962年，布赖恩·约瑟夫森發佈理論預測，超電流可以穿越過在兩個超導體之間由一薄層絕緣氧化物製成的位勢障礙，约瑟夫森表示，這是因為成對電子（庫柏對）的穿越動作。[1]^:4-5 由於江崎玲於奈與賈埃弗分別“发现半导体和超导体的隧道效应”，约瑟夫森“理论上预测出通过隧道势垒的超电流的性质，特别是那些通常被称为约瑟夫森效应的现象”，他們共同榮獲1973年諾貝爾物理學獎。[10]

扫描隧道显微镜是一种利用量子穿隧效應來探测物质表面结构的仪器。格尔德·宾宁及海因里希·罗雷尔於1981年在IBM的苏黎世实验室发明，两位发明者因此与恩斯特·鲁斯卡分享1986年诺贝尔物理学奖。[11]

水分子穿隧效應是指水分子陷俘在綠柱石內时會穿隧於六種不同的旋轉取向，這意味著每一個水分子會同時處於六種組態。2016年橡樹嶺國家實驗室研究團隊觀測到水分子穿隧效應。[12]

微觀粒子穿越過一個位勢壘。粒子的能量在穿越前與穿越後維持不變，但量子幅會降低。

量子穿隧效應屬於量子力學的研究領域，量子力學研究在量子尺度所發生的事件。設想一個運動中的粒子遭遇到一個位勢壘，試圖從位勢壘的一邊（區域 A）移動到另一邊（區域 C），這可以被類比為一個圓球試圖滾動過一座小山。量子力學與經典力學對於這問題給出不同的解答。經典力學預測，假若粒子所具有的能量低於位勢壘的位勢，則這粒子絕對無法從區域 A移動到區域 C。量子力學不同地預測，這粒子可以概率性地從區域 A穿越到區域 C。[1]^:9-10

德布羅意假說

假設用手緊握一個裝有水的玻璃杯，則因為受抑全反射會使得指紋顯露出來。在玻璃杯表面與皮膚的凹凸紋之間有空氣間隙。假若間隙很淺薄，則光線會接觸到皮膚的凸紋並且反射出皮膚顏色；否則假若間隙很深厚，則光線會衰變，因此無法接觸到皮膚的凹紋，無法反射出皮膚顏色。[14]

根據德布羅意假說，微觀物質都具有波動性質，都會展示出像波動一般的物理性質。假若波動能夠展示出穿隧行為，則微觀粒子應該也可以展示出這種行為。例如，受抑全反射是一種波動穿隧行為，下面將詳細描述相關細節。[13]^:75-76

假設光線從玻璃入射至空氣，由於光線的傳播速度在玻璃裡小於在空氣裡，所以在兩種不同介質的界面，會有一部份光線會被折射至空氣，其餘部分則會被反射回玻璃。但是，當入射角比臨界角大時（光線遠離法線的夾角），不會有任何光線被折射至空氣，所有光線都會反射回玻璃，這現象稱為全內反射。雖然沒有任何光線傳播進入空氣，但是，仍舊會有一種波擾動出現在空氣區域，這種波擾動稱為漸逝波，其振幅會隨著與界面的垂直距離呈指數衰減。

假設在與第一塊玻璃相離不遠之處置放第二塊玻璃，兩塊玻璃相互平行，在兩塊玻璃的中間是空氣區域，現在緩慢地將第二塊玻璃移向第一塊玻璃，直到漸逝波開始穿越到第二塊玻璃，這時，光線會傳播到第二塊玻璃，兩塊玻璃相離越近，越多光線會傳播到第二塊玻璃，光線的這種穿隧行為稱為受抑全反射。在現代光學裡分束器的運作就是倚賴受抑全反射的機制，通過調整間隔距離，可以操控分束器所反射或透射的光線數量。其它種波動也可以展示出類似受抑全反射的穿隧行為。藉著德布羅意假說，這種行為可以用來類比量子穿隧效應。

多年來，對於粒子穿越位勢壘所需的間隔時間這論題，物理學者們爭執不休。簡略計算可以獲得超光速穿隧這理論結果，而近期一些實驗似乎也確切觀察到量子穿隧是一種超光速行為。但這不意味著信息傳播速度也可達超光速，因此並沒有違背狹義相對論的白紙黑字。[20]

理論分析量子穿隧時間是一門很複雜的學問。在量子力學裡，時間不是算符，而是參數，因此導致在對於測量兩個量子事件之間的間隔時間，能量-時間不確定性原理給出的意義不很明確。簡略地估算穿隧間隔時間${\displaystyle \Delta T}$，假設一個能量為${\displaystyle E}$的粒子遇到位勢壘${\displaystyle V}$，而且${\displaystyle V>E}$，則這粒子必須借用能量${\displaystyle \Delta E=V-E}$才能夠擁有足夠能量穿越位勢壘。根據能量－時間不確定性原理，${\displaystyle \Delta E\Delta T\approx \hbar }$，所以粒子借用能量${\displaystyle \Delta E}$的間隔時間${\displaystyle \Delta T}$最多只能為${\displaystyle \hbar /\Delta E}$。假設位勢壘的寬度為${\displaystyle W}$，則粒子的穿隧速度大約為${\displaystyle W\Delta E/\hbar }$。注意到以下三點：[20]

• 這表達式的數值沒有上限，寬度越大，穿隧速度越大，甚至超過光速。
• 隨著增高位勢壘的高度${\displaystyle V}$，穿隧間隔時間${\displaystyle \Delta T}$反而會減少；換句話說，阻礙的位勢越強勁，粒子的穿隧速度越快。
• 由於粒子借用能量的間隔時間${\displaystyle \Delta T}$與所借用的能量${\displaystyle \Delta E}$有關，與位勢壘的寬度無關，所以，不論位勢壘的寬度有多寬，粒子必須在間隔時間${\displaystyle \Delta T}$內穿越過位勢壘，否則，粒子無法穿越過位勢壘，量子穿隧效應不會發生。

上述分析相當簡略，然而當今一些更為詳細精緻的理論仍舊無法完全逃避推導出超光速穿隧這結果。量子穿隧是量子力學裡最奧妙的現象之一，為了要找到正確解答，必須進行更多嚴格研究。[20][5]

對於一個不規則位勢壘的量子穿隧效應。往左與往右的量子波的波幅與方向都分別表示於圖內。入射波、反射波、透射波的波幅分別是${\displaystyle A_{r}\,\!}$、${\displaystyle A_{l}\,\!}$、和${\displaystyle C_{r}\,\!}$。

思考一個入射波${\displaystyle A_{r}e^{ikx}\,\!}$，遇到處於${\displaystyle x=0\,\!}$與${\displaystyle x=a\,\!}$之間的位勢${\displaystyle V(x)\,\!}$。入射波的一部分會反射回去，成為反射波${\displaystyle A_{l}e^{-ikx}\,\!}$；另一部分則會穿透過位勢${\displaystyle V(x)\,\!}$，成為透射波${\displaystyle C_{r}e^{ikx}\,\!}$。那麼，在位勢壘的左邊與右邊，波函數分別是[6]^:320-325

${\displaystyle \psi _{A}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{C}(x)=C_{r}e^{ikx}\,\!}$。

而在位勢壘的內部，根據WKB近似，波函數大約為

${\displaystyle \psi _{B}(x)\approx {\frac {B_{r}}{\sqrt {|p|}}}e^{-\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }+{\frac {B_{l}}{\sqrt {|p|}}}e^{\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}\,\!}$是動量。

通過邊界條件的匹配，可以設定常數${\displaystyle A_{l}\,\!}$，${\displaystyle B_{r}\,\!}$，${\displaystyle B_{l}\,\!}$，${\displaystyle C_{r}\,\!}$對於${\displaystyle A_{r}\,\!}$的比例。

一個粒子穿透過位勢壘的機率等於透射係數，定義為

${\displaystyle T\equiv {\frac {|C_{r}|^{2}}{|A_{r}|^{2}}}\,\!}$。

假若位勢壘又寬又強，那麼，指數遞增項目必定很小，可以忽略。所以，

${\displaystyle \psi _{B}(x)\approx {\frac {B_{r}}{\sqrt {|p|}}}e^{-\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }\,\!}$。

毛估${\displaystyle C_{r}\,\!}$對於${\displaystyle A_{r}\,\!}$的比例為

${\displaystyle {\frac {|C_{r}|}{|A_{r}|}}\approx e^{-\gamma }\,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{a}|p(x')|dx'/\hbar \,\!}$。

所以，粒子穿透過位勢壘的機率為

${\displaystyle T=e^{-2\gamma }\,\!}$。

請注意，取所有物理參數都超大於普朗克常數的經典極限，表達為${\displaystyle \hbar \rightarrow 0\,\!}$。那麼，透射係數正確地變為零，也就是說，粒子無法穿透過位勢壘。

• 超導量子干涉儀