随机森林

决策树是机器学習的常用方法。 Hastie等说：“树学习是如今最能满足于数据挖掘的方法，因为它在特征值的缩放和其他各种转换下保持不变，对无关特征是穩健的，而且能生成可被檢查的模型。然而，它通常並不準確。”[5]

特别的，生长很深的树容易学习到高度不规则的模式，即过学习，在训练集上具有低偏差和高變異數的特点。随机森林是平均多个深决策树以降低變異數的一种方法，其中，决策树是在一个数据集上的不同部分进行训练的。[5]这是以偏差的小幅增加和一些可解释性的丧失为代價的，但是在最终的模型中通常会大大提高性能。

随机森林训练算法把bagging的一般技术应用到树学习中。给定训练集${\displaystyle X=x_{1},\dots ,x_{n}}$和目标${\displaystyle Y=y_{1},\dots ,y_{n}}$，bagging方法重复（${\displaystyle B}$次）从训练集中有放回地采样，然后在这些样本上训练树模型：

For b = 1, ..., B:

1. Sample, with replacement, n training examples from X, Y; call these X_b, Y_b.
2. Train a classification or regression tree f_b on X_b, Y_b.

在训练结束之后，对未知样本x的预测可以通过对x上所有单个回归树的预测求平均来实现：

${\displaystyle {\hat {f}}={\frac {1}{B}}\sum _{b=1}^{B}f_{b}(x')}$

或者在分类任务中选择多数投票的类别。

这种bagging方法在不增加偏置的情况下降低了方差，从而带来了更好的性能。这意味着，即使单个树模型的预测对训练集的噪声非常敏感，但对于多个树模型，只要这些树并不相关，这种情况就不会出现。简单地在同一个数据集上训练多个树模型会产生强相关的树模型（甚至是完全相同的树模型）。Bootstrap抽样是一种通过产生不同训练集从而降低树模型之间关联性的方法。

此外，x'上所有单个回归树的预测的标准差可以作为预测的不确定性的估计：

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{b=1}^{B}(f_{b}(x')-{\hat {f}})^{2}}{B-1}}}.}$

样本或者树的数量B是一个自由参数。通常使用几百到几千棵树，这取决于训练集的大小和性质。使用交叉验证，或者透過观察out-of-bag误差（那些不包含xᵢ的抽样集合在样本xᵢ的平均预测误差），可以找到最优的B值。当一些树训练到一定程度之后，训练集和测试集的误差开始趋于平稳。

上面的过程描述了树的原始的 bagging 算法。随机森林与这个通用的方案只有一点不同:它使用一种改进的学习算法，在学习过程中的每次候选分裂中选择特征的随机子集。这个过程有时又被称为“特征 bagging”。这样做的原因是 bootstrap 抽样导致的树的相关性：如果有一些特征预测目标值的能力很强，那么这些特征就会被许多树所选择，这样就会导致树的强相关性。何天琴分析了不同条件下 bagging 和随机子空间投影对精度提高的影响。[3]

典型地，对于一个包含 p 个特征的分类问题，可以在每次划分时使用 ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ 个特征[5]^:592。对于回归问题，作者推荐 p/3 但不少于 5 个特征[5]^:592。

再加上一个随机化步骤，就会得到极限随机树（extremely randomized trees），即极限树。与普通的随机森林相同，他们都是单个树的集成，但也有不同：首先，每棵树都使用整个学习样本进行了训练，其次，自上而下的划分是随机的。它并不计算每个特征的最优划分点（例如，基于信息熵或者基尼不纯度），而是随机选择划分点。该值是从特征经验范围内均匀随机选取的。在所有随机的划分点中，选择其中分数最高的作为结点的划分点。与普通的随机森林相似，可以指定每个节点要选择的特征的个数。该参数的默认值，对于分类问题，是${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，对于回归问题，是${\displaystyle n}$，其中 ${\displaystyle n}$是模型的特征个数。[6]

随机森林天然可用来对回归或分类问题中变量的重要性进行排序。下面的技术来自Breiman的论文，R语言包randomForest包含它的实现。[7]

度量数据集 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}=\{(X_{i},Y_{i})\}_{i=1}^{n}}$的特征重要性的第一步是，使用训练集训练一个随机森林模型。在训练过程中记录下每个数据点的out-of-bag误差，然后在整个森林上进行平均。

为了度量第${\displaystyle j}$个特征的重要性，第${\displaystyle j}$个特征的值在训练数据中被打乱，并重新计算打乱后的数据的out-of-bag误差。则第${\displaystyle j}$个特征的重要性分数可以通过计算打乱前后的out-of-bag误差的差值的平均来得到，这个分数通过计算这些差值的标准差进行标准化。

产生更大分数的特征比小分数的特征更重要。这种特征重要性的度量方法的统计定义由Zhu et al.[8]给出。

这种度量方法也有一些缺陷。对于包含不同取值个数的类别特征，随机森林更偏向于那些取值个数较多的特征，partial permutations[9][10]、growing unbiased trees[11][12]可以用来解决这个问题。如果数据包含一些相互关联的特征组，那么更小的组更容易被选择。[13]

Lin和Jeon在2002年指出了随机森林算法和K-近邻算法(k-NN)的关系。[14] 事实证明，这两种算法都可以被看作是所谓的“加权邻居的方案”。这些在数据集${\displaystyle \{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}}$上训练的模型通过查看一个点的邻居来计算一个新点x'的预测值${\displaystyle {\hat {y}}}$，并且使用权重函数W对这些邻居进行加权:

${\displaystyle {\hat {y}}=\sum _{i=1}^{n}W(x_{i},x')\,y_{i}.}$

其中， ${\displaystyle W(x_{i},x')}$是第i个点在同一棵树中相对于新的数据点x'的非负权重。对于任一特定的点x'，${\displaystyle x_{i}}$的权重的和必须为1。权重函数设定如下：

• 对于k-NN算法，如果x_i是距离x'最近的k个点之一，则${\displaystyle W(x_{i},x')={\frac {1}{k}}}$，否则为0。
• 对于树，如果x_i与x'属于同一个包含k'个点的叶结点，则${\displaystyle W(x_{i},x')={\frac {1}{k'}}}$，否则为0。

因为森林平均了m棵树的预测，且这些树具有独立的权重函数${\displaystyle W_{j}}$，故森林的预测值是：

${\displaystyle {\hat {y}}={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}W_{j}(x_{i},x')\,y_{i}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}W_{j}(x_{i},x')\right)\,y_{i}.}$

上式表明了整个森林也采用了加权的邻居方案，其中的权重是各个树的平均。在这里，x'的邻居是那些在任一树中属于同一个叶节点的点${\displaystyle x_{i}}$。只要${\displaystyle x_{i}}$与x'在某棵树中属于同一个叶节点，${\displaystyle x_{i}}$就是x'的邻居。