餘切

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$為直角，${\displaystyle \angle A}$的角度為 ${\displaystyle \theta }$， 對於${\displaystyle \angle A}$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角的餘切定义为它的鄰邊与對邊的比值，也就是：

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {a} }}\,\!}$

可以發現其定義和正切函數互為倒數。

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}$

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於${\displaystyle {\overline {Oy}}}$，並與单位圆相切，令直線與y軸的交點，則此點與y點之距離為餘切比值。

单位圆上的餘切

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，產生斜边等于 1 的无限数目個三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数；但由於餘切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是${\displaystyle \pi }$（180°），所以正切是周期为${\displaystyle \pi }$（180°）的周期函数:

${\displaystyle \cot \theta =\cot \left(\theta +\pi k\right)=\cot \left(\theta +180^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

餘切函數也可以使用泰勒展開式定義

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-{\frac {2x^{9}}{93555}}+...={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}$

其中${\displaystyle B_{2n}}$為伯努利數。

另外，我们也有

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}.}$

cot的微分是負csc的平方

${\displaystyle \cot 'x\ =-\csc ^{2}x}$

另外

${\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)}$

所以可以用

${\displaystyle \cot x=(\ln(\sin x))'\,}$來定義。

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

${\displaystyle \cot(\theta \pm \psi )={\frac {\cot \theta \cot \psi \mp 1}{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {1}{\cot \theta -1}}-{\frac {1}{\cot \theta +1}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}$