AKS質數測試

AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定性的和無仰賴的質數判定算法。先前的算法至多達到了其中三點，但從未達到全部四個。

• AKS算法可以被用於檢測任何一般的給定數字是否為質數。很多已知的高速判定算法只適用於滿足特定條件的質數。例如，卢卡斯-莱默检验法僅對梅森質數適用，而Pépin測試僅對費馬數適用。
• 算法的最長運行時間可以被表為一個目標數字長度的多項式。ECPP和APR能夠判斷一個給定數字是否為質數，但無法對所有輸入給出多項式時間範圍。
• 算法可以確定性地判斷一個給定數字是否為質數。隨機測試演算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多項式時間內對給定數字進行校驗，但只能給出概率性的結果。
• AKS算法並未“仰賴”任何未證明猜想。一個反例是确定性米勒检验：該算法可以在多項式時間內對所有輸入給出確定性結果，但其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。

AKS質數測試主要是基於以下定理：整數n (≥ 2)是質數，若且唯若

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {n}}}$

(1)

這個同餘多項式對所有與n互質的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化，並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵:

${\displaystyle {n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}}$ ，對任何 ${\displaystyle 0<k<n}$ ，若且唯若 n 是質數

來證明出此定理。

雖然說關係式 (1) 基本上構成了整個質數測試，但是驗證花費的時間卻是指數時間。因此，為了減少計算複雜度，AKS改為使用以下的同餘多項式：

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,n}}}$

(2)

這個多項式與存在多項式f與g，令:

${\displaystyle (x+a)^{n}-(x^{n}+a)=(x^{r}-1)g+nf}$

(3)

意義是等同的。

這個同餘式可以在多項式時間之內檢查完畢。這裡我們要注意所有的質數必定滿足此條件式（令g = 0則 (3) 等於 (1)，因此符合n必定是質數）。 然而，有一些合數也會滿足這個條件式。有關AKS正確性的證明包含了推導出存在一個夠小的r以及一個夠小的整數集合A，令如果此同餘式對所有A裡面的整數都滿足，則n必定為質數。

在上文引用的論文的第一版本中，作者們證明了算法的漸近時間為O${\displaystyle (\log ^{12}(n))}$。換言之，算法使用少於n的二進制數字長度的十二次方。但是，論文證明的時間上界卻過於寬鬆；事實上，一個被普遍相信的關於索菲熱爾曼質數分佈的假設如果為真，則會立即將最壞情況減至O${\displaystyle (\log ^{6}(n))}$。

在這一發現後的幾個月中，新的變體陸續出現（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）並依次提高了算法的速度（以改進幅度為序）。由於這些變體的出現，Crandall和Papadopoulos在其科學論文“AKS-類質數測試的實現”（2003年三月發表）中將其稱為算法的“AKS-類”。

出於對這些變體和其他回复的回應，論文“質數屬於P”稍後被進行了更新，新版本包括了一個AKS算法的正規公式化表述和其正確性證明。（這一版本在数学年刊上發表。）雖然基本思想沒有變化，${\displaystyle r}$卻被採用了新方法進行選擇，而正確性證明也變得更加緊緻有序。與舊證明依賴於許多不同的方法不同，新版本幾乎只依賴於有限域上的分圓多項式的特徵。新版本同時也優化了時間複雜度的邊界到O${\displaystyle (\log ^{10.5}(n))}$。通過篩法獲得的其他結果可以將其進一步簡化到O${\displaystyle (\log ^{7.5}(n))}$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一個AKS的變體，可以在${\displaystyle O(\log ^{6}(n))}$次操作內完成測試（${\displaystyle n}$是被測試數）。對於原算法的${\displaystyle O(\log ^{12}(n))}$邊界而言，這是一個顯著的改進。[2]

整個演算法的操作如下：[1]

輸入：整數 n > 1

1. 若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；則輸出合數
2. 找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
3. 若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出合數。(gcd是指最大公因數)。
4. 若 n ≤ r, 輸出質數。
5. 對 a = 1 到 ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor }$的所有數，

   如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 輸出合數。

6. 輸出 質數。

這裡的 ord_r(n)是n mod r的阶。 另外，這裡的log 代表以二為底的對數，${\displaystyle \scriptstyle \varphi (r)}$則是r的歐拉函數。

下面說明若n是個質數，那麼算法總是會返回質數：由於n是質數，步驟1和3永遠不會返回合數。步驟5也不會返回合數，因為(2)對所有質數n為真。因此，算法一定會在步驟4或6返回質數。

對應地，如果n是合數，那麼算法一定返回合數：如果算法返回質數，那麼則一定是從步驟4或6返回。對於前者，因為n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此會返回合數。剩餘的可能性就是步驟6，在文章[1]中，這種情況被證明不會發生，因為在步驟5中檢驗的多個等式可以確保輸出一定是合數。

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists（页面存档备份，存于） (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime（页面存档备份，存于）
• The Prime Facts: From Euclid to AKS（页面存档备份，存于）, by Scott Aaronson (PDF)
• The PRIMES is in P little FAQ（页面存档备份，存于） by Anton Stiglic
• 2006 Gödel Prize Citation
• 2006 Fulkerson Prize Citation（页面存档备份，存于）
• The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource（页面存档备份，存于）
• Grime, Dr. James. (video). 布雷迪·哈蘭. [2018-05-10]. （原始内容存档于2018-03-23）. [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]