纳维-斯托克斯方程

纳维－斯托克斯方程的一般形式是非线性的偏微分方程，所以在大多数实际情况下仍是如此。[4][5]在特定情况，如一维流和斯托克斯流（又稱蠕动流）下，方程可以简化为线性方程组。非线性項的出現，令大部分问题變得很难，甚至無法求解。另一方面，方程組能描述湍流，而非線性正是湍流出現的重要因素。

方程式中的非线性項是对流加速（与点速度变化相关联的加速度），因此，任何对流，无论湍流与否，都会涉及非线性。有對流但仍為層流（而非湍流）的例子如下：考慮黏性液體（如油），流經一個細小並逐漸收窄的噴嘴。此種流，不論能否確切解出，通常都能透徹研究、理解。[6]

湍流是时变的混沌行为，这种行为常见于许多流体流动中。人们普遍认为，湍流的成因，是整個流體的慣性：时變加速度與对流加速度疊加，以產生亂流告終。因此惯性影响很小的流体，往往是层流（雷诺数量化了流所受惯性的大小）。虽然不完全确定，但一般相信纳维－斯托克斯方程能够合理地描述湍流。[7]

纳维-斯托克斯方程关于湍流的数值解是非常难得到的，而且由于湍流之中，有多個显著不同的混合长度尺度，若要得到穩定解，所需要的分辨率要極度精细，於是计算或直接數值模擬的时间長得不可行。若试圖用解层流的方法来解决湍流问题，通常会得到时间不稳定的解，而不能适当收敛。为了解决这个问题，計算流體力學中，實際模擬湍流的程序，多採用雷諾平均納維－斯托克斯方程（RANS）等时间平均方程，再辅以各湍流模型，如Spalart-Allmaras、k–ω、k–ε、SST，以添加另外的方程。另一种數值解法是大涡模拟（LES）。这种方法比RANS方法，佔用更多計算时间和記憶體空間，但效果較好，因为LES明确解出較大的湍流尺度。

連同其他方程（如质量守恒定律）和良好的边界条件一併考慮時，纳维－斯托克斯方程似乎是流体运动的精确模型；甚至湍流（平均而言）也符合实际观察结果。

纳维－斯托克斯方程假定所研究的流体連續（无限可分，而不是由粒子组成），且不具相對論流速。在非常小的尺度或极端条件下，由离散分子组成的真实流体，与由纳维－斯托克斯方程描繪的连续流体，将产生不同的结果。例如，大梯度流的流體內層，有毛细现象。[8]對於大克努森數的问题，用统计力学的波茲曼方程式可能更適合[9] ，甚至要用分子动力学或其他混合方法[10]。

另一个限制是方程的复杂性。要刻劃一般常見的流体類，有行之有效的公式，但對於較罕見的類別，應用纳维－斯托克斯方程時，往往会得到非常复杂的描述，甚至是未解難題。出于这个原因，这些方程通常用于描述牛顿流体。研究这种液体是“简单”的，因为粘度模型最终被线性化；真正描述其他类型流体（如血液）的普遍模型，截至2012年还不存在。[11]

运动流体的属性变化，譬如大气风速的变化，可以有两种不同的方法来测量：风速仪可以固定在气象站上，也可以隨气象气球飄動。第一种情况下，风速仪测量的速度，是所有运动的粒子经过一个固定点的速度；而第二种情况下，仪器测量的數值，是其随着流体运动时，速度的变化。同样的论证对于密度、温度等物理量的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为實質導數或拉格朗日导数。

随質导数定义为算子：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\star )={\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\star )}$

其中${\displaystyle \mathbf {v} }$是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数），而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流。

L在一个控制体积${\displaystyle \Omega }$上守恆，可用以下积分式表示：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega =0.}$

設Ω共动（隨流體移動），則它随着时间而改变，所以不能将时间导数和积分简单的交换，但有：

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} \,\mathrm {d} \Omega +\int _{\partial \Omega }\mathbf {L} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \partial \Omega \right)=\int _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} +\nabla \cdot \left(\mathbf {L} \mathbf {v} \right)\right]\mathrm {d} \Omega .}$

因为这个表达式对于所有${\displaystyle \Omega }$成立，它可以简化为：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {L} +\left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {L} ={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {L} +\nabla \cdot \left(\mathbf {v} \mathbf {L} \right)=0}$

（第一個等號用到隨質導數的定義，以及對${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {v} \mathbf {L} \right)}$用到導數的積法則）对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$给出了正确的共动时间导数。

在上式中，依次取${\displaystyle \mathbf {L} }$為下列各守恒量：

• 质量
• 能量
• 动量
• 角动量

并且用状态定律来闭合，就能推導出NS方程。

质量的守恒写作：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0}$

其中${\displaystyle \rho }$是流体的密度。

在不可压缩流体的情况，${\displaystyle \rho }$是常數，不取決於时间或位置，於是方程简化为：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

动量守恒写作：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=\sum \rho \mathbf {f} ,}$

注意${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} }$是一个张量，${\displaystyle \otimes }$代表张量积。

可以进一步简化，利用连续性方程，上式變成：

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\sum \rho \mathbf {f} ,}$

可以认出这就是通常牛頓第二定律${\displaystyle m\mathbf {a} =\mathbf {F} }$。

纳维-斯托克斯方程的一般形式是：

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {v} }{\mathrm {D} t}}=\nabla \cdot \mathbb {P} +\rho \mathbf {f} }$

关于动量守恒。张量${\displaystyle \mathbb {P} }$代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，${\displaystyle \mathbb {P} }$是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：

${\displaystyle \mathbb {P} ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}}$

其中${\displaystyle \sigma }$是法向约束，而${\displaystyle \tau }$是切向约束。

迹${\displaystyle \sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}$在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。

我们再加上连续性方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

对于处于平衡的液体，${\displaystyle \mathbb {P} }$的迹是3p。

其中

p是压强

最后，我们得到：

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {v} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\rho \mathbf {f} }$

其中${\displaystyle \mathbb {T} }$是${\displaystyle \mathbb {P} }$的非对角线部分。

这些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对${\displaystyle \mathbb {P} }$的形式作一些假设。例如在理想流体的情况${\displaystyle \tau }$分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。

再如，压强可以主要是密度和温度的函数。

要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。

${\displaystyle \mathbb {P} }$的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。${\displaystyle \mathbb {P} }$是对称的，除非存在非零的自旋密度。

所谓非牛顿流体就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体

在牛顿流体中，如下假设成立：

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)}$

其中

${\displaystyle \mu }$是液体的粘滞度。

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)\right)}$

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}v_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}$

其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。

不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：

动量守恒：

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z}\right)=k_{x}-{\partial p \over \partial x}+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial u \over \partial x}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]}$

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}+w{\partial v \over \partial z}\right)=k_{y}-{\partial p \over \partial y}+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial v \over \partial y}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]}$

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+u{\partial w \over \partial x}+v{\partial w \over \partial y}+w{\partial w \over \partial z}\right)=k_{z}-{\partial p \over \partial z}+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial w \over \partial z}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]}$

质量守恒：

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}+{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}=0}$

因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。

能量守恒：

${\displaystyle \rho \left({\partial e \over \partial t}+u{\partial e \over \partial x}+v{\partial e \over \partial y}+w{\partial e \over \partial z}\right)=\left({\partial \over \partial x}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x}\right)+{\partial \over \partial y}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y}\right)+{\partial \over \partial z}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z}\right)\right)-p\cdot \left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}+\rho \cdot {\dot {q}}_{s}+\mu \cdot \Phi }$

其中：

${\displaystyle \Phi =2\cdot \left[\left({\partial u \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial v \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial z}\right)^{2}\right]+\left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z}\right)^{2}+\left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}\cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}\right)^{2}}$

假设一个理想气体：

${\displaystyle e=c_{p}\cdot T-{\frac {p}{\rho }}}$

上面是一共6个方程6个未知数的系统。（u，v，w，T，e以及　${\displaystyle \rho }$）。

在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：

${\displaystyle \tau _{ij}=\tau _{0}+\mu {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}},\;{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}>0}$

那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。牙膏是一个例子。

这是一种理想化的流体，其剪切应力，${\displaystyle \tau }$，由下式给出

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

该形式对于模拟各种一般流体有用。

其纳维－斯托克斯方程（Navier-Stoke equation）分为動量守恆公式

-{zh-hant: ${\displaystyle \quad \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{非 穩 態}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{對 流}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{慣 性}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{壓 強}}\\{\text{梯 度}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{黏 滯 力}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{其 他 力}}\end{smallmatrix}}}$; zh-hans: ${\displaystyle \quad \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{非 稳 态}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{对 流}}\\{\text{加 速}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{惯 性}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{压 强}}\\{\text{梯 度}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{黏 滞 力}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{其 他 力}}\end{smallmatrix}}}$; }-

和質量守恆公式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$。

其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項（convective terms）為非線性形式。對流加速度（convective acceleration）來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變，例如：當流體通過一個漸縮噴嘴（convergent nozzle）時，流體產生加速之情況。由於此項的存在，對於暫態運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函數，亦與空間有關。

另外一個重要的觀察重點，在於黏滯力（viscosity）在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散（diffusion of momentum），與熱擴散方程式非常類似。

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$;

${\displaystyle \Delta =e_{ii}}$是散度，

${\displaystyle \delta _{ij}}$是克罗内克记号。

若${\displaystyle \mu }$在整个流体上均匀，动量方程简化为

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial \Delta }{\partial x_{i}}}\right)}$

（若${\displaystyle \mu =0}$这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。

如果现在再有${\displaystyle \rho }$为常数，我们得到如下系统：

${\displaystyle \rho \left({\partial v_{x} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{x} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{x} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{x} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial x}+\rho g_{x}}$

${\displaystyle \rho \left({\partial v_{y} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{y} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{y} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{y} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial y}+\rho g_{y}}$

${\displaystyle \rho \left({\partial v_{z} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{z} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{z} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{z} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial z}+\rho g_{z}}$

连续性方程（假设不可压缩性）：

${\displaystyle {\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=0}$

N-S方程的简化版本。采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版

注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。