代数几何

球和倾斜的圆周

在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中的单位球面被定义为满足方程

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

的所有点${\displaystyle (x,y,z)}$的集合。

一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中可以被定义为同时满足如下两个方程

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$，

${\displaystyle x+y+z=0}$

的所有点${\displaystyle (x,y,z)}$的集合。

现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 ${\displaystyle k}$，在古典代数几何中这个域通常是复数域${\displaystyle \mathbf {C} }$，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域${\displaystyle k}$上的${\displaystyle n}$维仿射空间${\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{n}}$，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$。

如果函数

${\displaystyle f:{\mathbb {A} }^{n}\to {\mathbb {A} }^{1}}$

可以被写为多项式，即如果有多项式${\displaystyle p}$在

${\displaystyle k[x_{1},\cdots ,x_{n}]}$上，

使得对${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$上的每个点

${\displaystyle (t_{1},\cdots ,t_{n})}$

都有

${\displaystyle f(t_{1},\cdots ,t_{n})=p(t_{1},\cdots ,t_{n})}$，定义这个函数是正则的。

${\displaystyle n}$维仿射空间的正则函数正是数域${\displaystyle k}$上${\displaystyle n}$个变量的多项式。我们将${\displaystyle {\mathbb {A} }^{n}}$上的正则函数记为 ${\displaystyle k[{\mathbb {A} }^{n}]}$。