质数

最早期的希臘人甚至不將1視為是一個數字[5]，因此不會認為1是質數。到了中世紀與文藝復興時期，許多數學家將1納入作為第一個質數[6]。到18世紀中期，克里斯蒂安·哥德巴赫在他與李昂哈德·歐拉著名的通信裡將1列為第一個質數，但歐拉不同意[7]。然而，到了19世紀，仍有許多數學家認為數字1是個質數。例如，德里克·諾曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大達10,006,721的質數列表[8]中，將1列為第1個質數[9]。昂利·勒貝格據說是最後一個稱1為質數的職業數學家[10]。到了20世紀初，數學家開始認為1不是個質數，但反而作為「單位」此一特殊類別[6]。

許多數學成果在稱1為質數時，仍將有效，但歐幾里何的算術基本定理（如上所述）則無法不重新敘述而仍然成立。例如，數字15可分解成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被允許為一個質數，則這兩個表示法將會被認為是將15分解至質數的不同方法，使得此一定理的陳述必須被修正。同樣地，若將1視為質數，埃拉托斯特尼篩法將無法正常運作：若將1視為質數，此一篩法將會排除掉所有1的倍數（即所有其他的數），只留下數字1。此外，質數有幾個1所沒有的性質，如歐拉函數的對應值，以及除數函數的總和[11][12]。

歐幾里得的證明[18]取任一個由質數所組成的有限集合${\displaystyle S}$。該證明的關鍵想法為考慮${\displaystyle S}$內所有質數相乘後加一的一個數字：

${\displaystyle N=1+\prod _{p\in S}p}$。

如同其他自然數一般，${\displaystyle N}$可被至少一個質數整除（即使N本身為質數亦同）。

任何可整除N的質數都不可能是有限集合${\displaystyle S}$內的元素（質數），因為後者除N都會餘1。所以，${\displaystyle N}$可被其他質數所整除。因此，任一個由質數所組成的有限集合，都可以擴展為更大個由質數所組成之集合。

這個證明通常會被錯誤地描述為，歐幾里得一開始假定一個包含所有質數的集合，並導致矛盾；或者是，該集合恰好包含n個最小的質數，而不任意個由質數所組成之集合[19]。今日，${\displaystyle n}$個最小質數相乘後加一的一個數字，被稱為第${\displaystyle n}$個歐幾里得數。

歐拉的證明使用到質數倒數的總和

${\displaystyle S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}$。

當${\displaystyle p}$夠大時，該和會大於任意實數[20]。這可證明，存在無限多個質數，否則該和將只會增長至達到最大質數${\displaystyle p}$為止。${\displaystyle S(p)}$的增加率可使用梅滕斯第二定理來量化[21]。比較總和

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}}$

當${\displaystyle n}$趨向無限大時，此和不會變成無限大（見巴塞爾問題）。這意味著，質數比自然數的平方更常出現。布朗定理指出，孿生質數倒數的總和

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},}$

是有限的。

測試${\displaystyle n}$是否為質數的最基本方法為試除法。此一程序將n除以每個大於1且小於等於${\displaystyle n}$的平方根之整數${\displaystyle m}$。若存在一個相除為整數的結果，則${\displaystyle n}$不是質數；反之則是個質數。實際上，若${\displaystyle n=ab}$是個合數（其中${\displaystyle a}$與${\displaystyle b\neq 1}$），則其中一個因數${\displaystyle a}$或${\displaystyle b}$必定至大為${\displaystyle {\sqrt {n}}}$。例如，對${\displaystyle n=37}$使用試除法，將37除以${\displaystyle m=2,3,4,5,6}$，沒有一個數能整除37，因此37為質數。此一程序若能知道直至${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的所有質數列表，則可以只檢查${\displaystyle m}$為質數的狀況，以提升效率。例如，為檢查37是否為質數，只有3個相除是必要的（${\displaystyle m=2,3,5}$），因為4與6為合數。

作為一個簡單的方法，試除法在測試大整數時很快地會變得不切實際，因為可能的因數數量會隨著n的增加而迅速增加。依據下文所述之質數定理，小於${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的質數之數量約為${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\ln {\sqrt {n}}}}}$，因此使用試除法測試${\displaystyle n}$是否為質數時，大約會需要用到這麼多的數字。對${\displaystyle n=10^{20}}$，此一數值約為4.5億，對許多實際應用而言都太過龐大。

一個能給出某個數值以下的所有質數之演算法，稱之為質數篩法，可用於只使用質數的試除法內。最古老的一個例子為埃拉托斯特尼篩法（見上文），至今仍最常被使用。阿特金篩法為另外一例。在電腦出現之前，篩法曾被用來給出10⁷以下的質數列表[22]。

現代測試一般的數字${\displaystyle n}$是否為質數的方法可分成兩個主要類型，隨機（或「蒙特卡洛」）與確定性演算法。確定性演算法可肯定辨別一個數字是否為質數。例如，試除法即是個確定性演算法，因為若正確執行，該方法總是可以辨別一個質數為質數，一個合數為合數。隨機演算法一般比較快，但無法完全證明一個數是否為質數。這類測試依靠部分隨機的方法來測試一個給定的數字。例如，一測試在應用於質數時總是會通過，但在應用於合數時通過的機率為${\displaystyle p}$。若重復這個測試${\displaystyle n}$次，且每次都通過，則該數為合數的機率為${\displaystyle {\frac {1}{(1-p)^{n}}}}$，會隨著測試次數呈指數下滑，因此可越來越確信（雖然總是無法完全確信）該數為質數。另一方面，若測試曾失敗過，則可知該數為合數。

隨機測試的一個特別簡單的例子為費馬質數判定法，使用到對任何整數${\displaystyle a}$，${\displaystyle n^{p}\equiv n(\mod p)}$，其中${\displaystyle p}$為質數的這個事實（費馬小定理）。若想要測試一個數字${\displaystyle b}$是否為質數，則可隨機選擇${\displaystyle n}$來計算${\displaystyle n^{b}(\mod b)}$的值。這個測試的缺點在於，有些合數（卡邁克爾數）即使不是質數，也會符合費馬恆等式，因此這個測試無法辨別質數與卡邁克爾數，最小的三個卡邁克爾數為561，1105，1729。卡邁克爾數比質數還少上許多，所以這個測試在實際應用上還是有用的。費馬質數判定法更強大的延伸方法，包括貝利-PSW、米勒-拉賓與Solovay-Strassen質數測試，都保證至少在應用於合數時，有部分時候會失敗。

確定性演算法不會將合數錯誤判定為質數。在實務上，最快的此類方法為橢圓曲線質數證明。其運算時間是透過實務分析出來的，不像最新的AKS質數測試，有已被嚴格證明出來的複雜度。確定性演算法通常較隨機演算法來得慢，所以一般會先使用隨機演算法，再採用較費時的確定性演算法。

下面表格列出一些質數測試。運算時間以被測試的數字${\displaystyle n}$來表示，並對隨機演算法，以${\displaystyle k}$表示其測試次數。此外，${\displaystyle \varepsilon }$是指一任意小的正數，${\displaystyle \log }$是指一無特定基數的對數。大O符號表示，像是在橢圓曲線質數證明裡，所需之運算時間最長為一常數（與n無關，但會與ε有關）乘於log^5+ε(n)。

測試	發明於	類型	運算時間	註記
AKS質數測試	2002	確定性	${\displaystyle O(\log ^{6+\varepsilon }(n))}$
橢圓曲線質數證明	1977	確定性	${\displaystyle O(\log ^{5+\varepsilon }(n))}$「實務分析」
貝利-PSW質數測試	1980	隨機	${\displaystyle O(\log ^{3}n)}$	無已知反例
米勒-拉賓質數判定法	1980	隨機	${\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}$	錯誤機率${\displaystyle 4^{-k}}$
Solovay-Strassen質數	1977	隨機	${\displaystyle O(k\cdot \log ^{3}n)}$	錯誤機率${\displaystyle 2^{-k}}$
費馬質數判定法		隨機	${\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}$	遇到卡邁克爾數時會失敗

建構正五邊形。5是個費馬質數。

除了前述可應用於任何自然數n之上的測試外，一些更有效率的質數測試適用於特定數字之上。例如，盧卡斯質數測試需要知道n − 1的質因數，而盧卡斯-萊默質數測試則需要以n + 1的質因數作為輸入。例如，這些測試可應用在檢查

n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1

是否為一質數。此類形式的質數稱之為階乘質數。其他具p+1或p-1之類形式的質數還包括索菲·熱爾曼質數（具2p+1形式的質數，其中p為質數）、質數階乘質數、費馬質數與梅森質數（具2^p − 1形式的質數，其中p為質數）。盧卡斯-雷默質數測試對這類形式的數特別地快。這也是為何自電腦出現以來，最大已知質數總會是梅森質數的原因。

費馬質數具下列形式

F_k = 2^2k + 1,

其中，k為任意自然數。費馬質數以皮埃爾·德·費馬為名，他猜想此類數字F_k均為質數。費馬認為F_k均為質數的理由為此串列的前5個數字（3、5、17、257及65537）為質數。不過，F₅卻為合數，且直至2015年發現的其他費馬數字也全都是合數。一個正n邊形可用尺規作圖，若且唯若

n = 2ⁱ · m

其中，m為任意個不同費馬質數之乘積，及i為任一自然數，包括0。

下列表格給出各種形式的最大已知質數。有些質數使用分散式計算找到。2009年，網際網路梅森質數大搜索因為第一個發現具至少1,000萬個數位的質數，而獲得10萬美元的獎金[23]。電子前哨基金會亦為具至少1億個數位及10億個數位的質數分別提供15萬美元及25萬美元的獎金[24]。

給定一合數n，給出一個（或全部）質因數的工作稱之為n的因數分解。橢圓曲線分解是一個依靠橢圓曲線上的運算來分解質因數的演算法。

對於質數，還沒有一個已知的有效公式。例如，米爾斯定理與賴特所提的一個定理表示，存在實常數A>1與μ，使得

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

對任何自然數n而言，均為質數。其中，${\displaystyle \lfloor -\rfloor }$為高斯符號，表示不大於符號內數字的最大整數。第二個公式可使用伯特蘭-切比雪夫定理得證（由切比雪夫第一個證得）。該定理表示，總是存在至少一個質數p，使得 n < p < 2n − 2，其中n為大於3的任一自然數。第一個公式可由威爾遜定理導出，每個不同的n會對應到不同的質數，除了數字2會有多個n對應到外。不過，這兩個公式都需要先計算出A或μ的值來[29]。

不存在一個只會產生質數值的非常數多項式，即使該多項式有許多個變數。不過，存在具9個變數的丟番圖方程，其參數具備以下性質：該參數為質數，若且唯若其方程組有自然數解。這可被用來獲得其所有「正值」均為質數的一個公式[30]。

圖中的曲線分別表示π(n)（藍）、n / ln (n)（綠）與Li(n)（紅）。

質數計算函數π(n)被定義為不大於n的質數之數量。例如，π(11) = 5，因為有5個質數小於或等於11。已知有演算法可比去計算每個不大於n的質數更快的速率去計算π(n)的值。質數定理表示，π(n)的可由下列公式近似給出：

${\displaystyle \pi (n)\approx {\frac {n}{\ln n}},}$

亦即，π(n)與等式右邊的值在n趨近於無限大時，會趨近於1。這表示，小於n的數字為質數的可能性（大約）與n的數位呈正比。對π(n)更精確的描述可由對數積分給出：

${\displaystyle \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\ln t}}}$。

質數定理亦薀涵著對第n個質數p_n（如p₁ = 2、p₂ = 3等）的大小之估算：當數字大到某一程度時，p_n的值會變得約略為n log(n)[31]。特別的是，質數間隙，即兩個連續質數p_n與p_n+1間的差會變得任意地大。後者可由數列 n! + 2, n! + 3,…, n! + n（其中n為任一自然數）看出。

等差数列是指由被一固定數（模）q除後會得到同一餘數的自然數所組成之集合。例如：

3, 12, 21, 30, 39, ...,

是一個等差數列，模q = 9。除了3以外，其中沒有一個數會是質數，因為3 + 9n = 3(1 + 3n)，所以此一數列裡的其他數字均為合數。（一般來所有大於q的質數都具有q#·n + m的形式，其中0 < m < q#，且m沒有不大於q的質因數。）因此，數列

a, a + q, a + 2q, a + 3q,…

只在a與q 互質（其最大公因數為1）之時，可以有無限多個質數。若滿足此一必要條件，狄利克雷定理表示，該數列含有無限多個質數。下圖描述q = 9時的情形：數字每遇到9的倍數就會再再由下往上纏一次。質數以紅底標記。行（數列）開始於a = 3, 6, 9者至多只包含一個質數。其他行（a = 1, 2, 4, 5, 7, 8）則均包含無限多個質數。更甚之，質數以長期來看，會均勻分佈於各行之中，亦即每個質數模9會與6個數其中一數同餘的機率均為1/6。

質數（以紅底標計）在模9的等差數列中。

格林-陶定理證明，存在由任意多個質數組成的等差數列[32]。一個奇質數p可表示成兩個平方數之和p = x² + y²，若且唯若p同餘於1模4（费马平方和定理）。

烏嵐螺旋。紅點表示質數。具4n² − 2n + 41形式的質數則以藍點標記。

歐拉指出函數

${\displaystyle n^{2}+n+41\,}$

於　0 ≤ n < 40時會給出質數[33][34]，此一事實導致了艱深的代數數論，或更具體地說為黑格納數。當n更大時，該函數會給出合數值。哈代- 李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）能給出一個有關具整數係數a、b與c的二次多項式

${\displaystyle f(n)=ax^{2}+bx+c\,}$

的值為質數之機率的一個漸近預測，並能以對數積分Li(n)及係數a、b、c來表示。不過，該程式已被證實難以取得：仍未知是否存在一個二次多項式（a ≠ 0）能給出無限多個質數。烏嵐螺旋將所有自然數以螺旋的方法描繪。令人驚訝的是，質數會群聚在某些對角線上，表示有些二次多項式會比其他二次多項式給出更多個質數值來。

ζ函數ζ(s)的圖。在s=1時，該函數會有極點，亦即會趨近於無限大。

黎曼ζ函數ζ(s)被定義為一無窮級數

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

其中，s為實數部分大於1的一個複數。由算術基本定理可證得，該級數會等於下面的無窮乘積

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$。

ζ函數與質數密切相關。例如，存在無限多個質數這個事實也可以使用ζ函數看出：若只有有限多個質數，則ζ(1)將會是個有限值。不過，調和級數1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會發散，所以必須有無限多個質數。另一個能看見ζ函數的豐富性，並一瞥現代代數數論的例子為下面的恆等式（巴塞爾問題，由歐拉給出）：

${\displaystyle \zeta (2)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$。

ζ(2)的倒數6/π²，是兩個隨機選定的數字會互質的機率[35][36]。

未被證明的「黎曼猜想」，於1859年提出，表示除s = −2, −4, ...,外，ζ函數所有的根，其實數部分均為1/2。此一猜想與質數間的關連在於，該猜想實際上是在說，質數在正整數中出現頻率和統計學的隨機不同；若假設為真，質數計算函數便可有效掌握，在大數時不再需要近似求值。從物理的觀點來看，這大約是在說，質數分佈的不規則性僅來自於隨機的雜訊。從數學的觀點來看，則大約是在說，質數的漸近分佈（質數定理表示小於x的質數約有x/log x個）在x周圍的區間內，於區間長度遠小於x的平方根時亦成立。此一猜想一般認為是正確的。

除了黎曼猜想之外，還有許多其他的猜想存在。雖然這些猜想的陳述大多很簡單，但許多猜想經過了數十年仍提不出證明，如4個蘭道問題，從1912年提出至今仍然未解。其中一個為哥德巴赫猜想，該猜想認為每個大於2的偶數n都可表示成兩個質數之和。至於2011年2月，這個猜想對最大達n = 2 · 10¹⁷的所有數字都會成立[37]。較弱形式的哥德巴赫猜想已被證明，如維諾格拉多夫定理，該定理表示每個足夠大的奇數都可表示成三個質數之和。陈氏定理表示，每個足夠大的偶數都可表示成一個質數與一個半質數（兩個質數的乘積）之和。此外，任一個偶數均可寫成六個質數之和[38]。數論研究這些問題的分支稱之為加法數論。反哥德巴赫猜想，所有的正偶數n都可以表示成兩個質數之差，但此猜想可由波利尼亞克猜想類推證明。

其他猜想處理是否有無限多個具某些限制的質數這類問題。據猜想，存在無限多個費波那契質數[39]與無限多個梅森質數，但沒有無限多個費馬質數[40]。還不知道是否存在無限多個維費里希質數與歐幾里得質數。

第三種類型的猜想涉及到質數的分佈情形。據猜想，存在無限多對孿生質數，即有無限多對相差2的質數（孿生質數猜想）。波利尼亞克猜想是比孿生質數猜想更強的一個猜想，該猜想表示存在無限多對相差2n的連續質數[41]。據猜想，存在無限多個具n² + 1形式的質數[42]。上述猜想都是申策爾猜想的特例。布羅卡猜想表示，在兩個大於2的連續質數之平方數之間，總是會有至少4個質數。勒讓德猜想表示，對每個正整數n，n²與(n + 1)²間總會存在一個質數。克拉梅爾猜想可導出勒讓德猜想。

「模運算」使用下列數字修改了一般的運算

${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\},\,}$

其中n是個固定的自然數，稱之為「模」。計算加法、減法及乘法都與一般的運算一樣，不過負數或大於n − 1的數字出現時，會被除以n所得的餘數取代。例如，對n=7，3+5為1，而不是8，因為8除以7餘1。這通常念為「3+5同餘於1模7」，並標記為

${\displaystyle 3+5\equiv 1{\pmod {7}}}$。

同樣地，6 + 1 ≡ 0 (mod 7)、2 - 5 ≡ 4 (mod 7)，因為 -3 + 7 = 4，以及3 · 4 ≡ 5 (mod 7)，因為12除以7餘5。加法與乘法在整數裡常見的標準性質在模運算裡也依然有效。使用抽象代數的說法，由上述整數所組成之集合，亦標記為Z/nZ，且因此為一可交換環。不過，除法在模運算裡不一定都是可行的。例如，對n=6，方程

${\displaystyle 3\cdot x\equiv 2{\pmod {6}},}$

的解x會類比於2/3，無解，亦可透過計算3 · 0、...、3 · 5模6看出。不過，有關質數的不同性質如下：除法在模運算裡是可行的，若且唯若n為質數。等價地說，n為質數，若且唯若所有滿足2 ≤ m ≤ n − 1的整數m都會與n 互質，亦即其公因數只有1。實際上，對n=7，方程

${\displaystyle 3\cdot x\equiv 2\ \ (\operatorname {mod} \ 7),}$

會有唯一的解x = 3。因此，對任何質數p，Z/pZ（亦標記為F_p）也會是個體，或更具體地說，是個有限體，因為該集合包含有限多（即p）個元素。

許多定理可以透過從此一抽象的方式檢查F_p而導出。例如，費馬小定理表示

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1(\operatorname {mod} \ p)}$

，其中a為任一不被p整除的整數。該定理即可使用這些概念證得。這意味著

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}}}$。

吾鄉-朱加猜想表示，上述公式亦是p為質數的必要條件。另一個費馬小定理的推論如下：若p為2與5之外的其他質數，¹/_p總是個循環小數，其週期為p − 1或p − 1的因數。分數¹/_p依q（10以外的整數）為基底表示亦有類似的效果，只要p不是q的質因數的話。威爾遜定理表示，整數p > 1為質數，若且唯若階乘 (p − 1)! + 1可被p整除。此外，整數n > 4為合數，若且唯若 (n − 1)!可被n整除。

許多數學領域裡會大量使用到質數。舉有限群的理論為例，西羅定理即是一例。該定理表示，若G是個有限群，且pⁿ為質數p可整除G的階的最大冪次，則G會有個pⁿ階的子群。此外，任意質數階的群均為循環群（拉格朗日定理）。

幾個公開金鑰加密演算法，如RSA與迪菲－赫爾曼金鑰交換，都是以大質數為其基礎（如512位元的質數常被用於RSA裡，而1024位元的質數則一般被迪菲-赫爾曼金鑰交換所採用）。RSA依靠計算出兩個（大）質數的相乘會比找出相乘後的數的兩個質因數容易出許多這個假設。迪菲－赫爾曼金鑰交換依靠存在模冪次的有效演算法，但相反運算的離散對數仍被認為是個困難的問題此一事實。

周期蟬屬裡的蟬在其演化策略上使用到質數[44]。蟬會在地底下以幼蟲的形態度過其一生中的大部分時間。周期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡出現、飛行、交配、產卵，並在至多數週後死亡。此一演化策略的原因據信是因為若出現的週期為質數年，掠食者就很難演化成以周期蟬為主食的動物[45]。若周期蟬出現的週期為非質數年，如12年，則每2年、3年、4年、6年或12年出現一次的掠食者就一定遇得到周期蟬。經過200年以後，假設14年與15年出現一次的周期蟬，其掠食者的平均數量，會比13年與17年出現一次的周期蟬，高出2%[46]。雖然相差不大，此一優勢似乎已足夠驅動天擇，選擇具質數年生命週期的這些昆蟲。

據猜測，ζ函數的根與複數量子系統的能階有關[47]。

質數應用於任一可交換環R（具加法、減法與乘法的代數結構）的元素，可產生兩個更為一般的概念：「素元」與「不可約元素」。R的元素稱為素元，若該元素不為0或單位元素，且給定R內的元素x與y，若p可除以xy，則p可除以x或y。一元素稱為不可約元素，若該元素不為單位元素，且無法寫成兩個不是單位元素之環元素的乘積。在整數環Z裡，由素元所組成的集合等於由不可約元素所組成的集合，為

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,}$。

在任一環R裡，每個素元都是不可約元素。反之不一定成立，但在唯一分解整環裡會成立。

算術基本定理在唯一分解整環裡仍然成立。此類整環的一個例子為高斯整數Z[i]，由具a + bi（其中a與b為任意整數）形式的複數所組成之集合。其素元稱之為「高斯質數」。不是所有的質數都是高斯質數：在這個較大的環Z[i]之中，2可被分解成兩個高斯質數 (1 + i)與 (1 - i)之乘積。有理質數（即在有理數裡的素元），具4k+3形式者為高斯素數；具4k+1形式者則不是。

在環論裡，數的概念一般被理想所取代。「質理想」廣義化了質元素的概念，為由質元素產生的主理想，是在交換代數、代數數論與代數幾何裡的重要工具與研究對象。整數環的質理想為理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術基本定理被廣義化成準素分解，可將每個在可交換諾特環裡的理想表示成準素理想（為質數冪次的一適合廣義化）的交集[50]。

透過環的譜這個概念，質理想成為代數幾何物件的點[51]。算術幾何也受益於這個概念，且許多概念會同時存在於幾何與數論之內。例如，對一擴張體的質理想分解（這是代數數論裡的一個基本問題），與幾何裡的分歧具有某些相似之處。此類分歧問題甚至在只關注整數的數論問題裡也會出現。例如，二次體的整數環內的質理想可被用來證明二次互反律。二次互反律討論下面二次方程

${\displaystyle x^{2}\equiv p\ \ ({\text{mod }}q),\,}$

是否有整數解，其中x為整數，p與q為（一般）質數[52]。早期對費馬最後定理證明之嘗試，於恩斯特·庫默爾引入正則素數後達到了高潮。正則質數是指無法在由下列式子（其中a₀、…、a_p−1為整數，ζ則是能使ζ^p = 1的複數）

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +\cdots +a_{p-1}\zeta ^{p-1}\,,}$

組成的環裡，使得唯一分解定理失效的質數[53]。

賦值理論研究由一個體K映射至實數R的某個函數（稱之為賦值）[54]。每個此類賦值都能給出一個 K上的拓撲，且兩個賦值被稱為等價，若兩者有相同拓撲。K的質數為一賦值的等價類。例如，一個有理數q的p進賦值被定義為整數v_p(q)，使得

${\displaystyle q=p^{v_{p}(q)}{\frac {r}{s}},}$

其中r與s不被p所整除。例如，v₃(18/7) = 2。p進範數被定義為[nb 1]

${\displaystyle \left|q\right|_{p}:=p^{-v_{p}(q)}.\,}$

特別的是，當一個數字乘上p時，其範數會變小，與一般的絕對賦值（亦稱為無限質數）形成明顯的對比。當透過絕對賦值完備有理數會得出由實數所組成的體，透過p進範數完備有理數則會得出由p進數所組成的體[55]。實際上，依據奧斯特洛夫斯基定理，上述兩種方法是完備有理數的所有方法。一些與有理數或更一般化之大域體有關的算術問題，可能可以被轉換至完備（或局部）體上。此一局部-全域原則再次地強調了質數對於數論的重要性。

• Prime Number Checker （页面存档备份，存于） identifies the smallest prime factor of a number.
• Fast Online primality test with factorization（页面存档备份，存于） makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousand-digits numbers, requires Java).
• Huge database of prime numbers（页面存档备份，存于）
• Prime Numbers up to 1 trillion （页面存档备份，存于）
• 素数发生器和校验器 （页面存档备份，存于）