L^p空間

泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构乃至更复杂的结构，以便使用拓扑乃至分析学的知识来讨论这些集合的属性。最常见的附加结构是赋范向量空间。将函数集合作为装备了范数向量空间来看待，有助于理解函数类的关系和性质。范数是欧几里德空间中长度概念的推广。在平面几何或立体几何中，长度以及距离是最基本的概念之一。对象的形状、位置、大小等性质或关系都是建立在长度和距离的定义上。最直观的长度概念是由平直物理空间中抽象而来，满足勾股定理。例如说在平面上，原点到点${\displaystyle P=(x,y)}$的向量长度是${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$。三维空间中，原点到点${\displaystyle P=(x,y,z)}$的向量长度${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$。长度函数${\displaystyle l}$满足如下的基本性质：

1. 只有零向量的长度是零：${\displaystyle l(v)=0\iff v=0,}$
2. 数乘线性：${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\;l(\lambda v)=\left\vert \lambda \right\vert l(v),}$
3. 满足三角不等式：${\displaystyle l(u)+l(v)\geqslant l(u+v).}$

比如说在更一般的n维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，可以定义向量${\displaystyle v=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}$的欧几里德长度是

${\displaystyle l(v)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}}$

这个函数也满足以上的基本性质。更一般地，在向量空间${\displaystyle V}$中，满足以上性质的函数：${\displaystyle {\mathcal {N}}:\;V\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$称为${\displaystyle V}$上的“长度”函数或范数。比如在欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中也可以对给定的实数p ≥ 1定义范数：

${\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{p}(x)=\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

这个范数称为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的p-范数。p = 2的时候，就是常见的欧几里德范数。p = 1的时候，是所谓的曼哈顿距离。当p趋于无穷大的时候，p-范数趋于一个“极限”范数，称为一致范数（也记作L^∞-范数），定义为：

${\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{\infty }(x)=\|x\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|\cdots ,|x_{n}|).}$

对不同的p来说，等长度点的集合是不一样的。比如右图列出了三种不同范数下单位圆（从原点出发，“长度”等于1的点的集合）形状。

有限维空间中的p-范数可以如${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$一般定义。当空间维数是可数无限时，也可以将p-范数的定义拓展到其上。这个定义一般适用于由数列或序列构成的空间，称为${\displaystyle \ell ^{p}}$空间。常见的有如下例子：

• ${\displaystyle \ell ^{1}}$空间，所有绝对收敛级数列构成的空间；
• ${\displaystyle \ell ^{2}}$空间，所有平方收敛级数列构成的空间；
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$空间，所有有界数列构成的空间。

事实上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和数乘定义出向量空间。而${\displaystyle \ell ^{p}}$空间则是在这个向量空间中定义如下的p-范数：

${\displaystyle \|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

然而，上式中右侧的级数不总是收敛的（有可能其级数和是无穷大）。所以${\displaystyle \ell ^{p}}$空间实际上是所有序列集合中，令上式右侧的级数能够收敛的元素组成的子集。

可以证明，随着p增大，${\displaystyle \ell ^{p}}$空间包含的元素也越多。实际上，如果p < q，那么${\displaystyle \ell ^{p}}$空间是${\displaystyle \ell ^{q}}$空间的真子集。比如说，以下的数列：

${\displaystyle a=({\frac {1}{n}})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{n}},\cdots \right)}$

不属${\displaystyle \ell ^{1}}$，因为${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots }$的和是无穷大。不过，由于

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots }$

的和是有限的，所以数列${\displaystyle a}$属于${\displaystyle \ell ^{2}}$.

L ^p空间都是巴拿赫空间，但只有当p = 2的时候，L²空间是希尔伯特空间。也就是说，可以为L²空间中的元素定义内积。具体形式是：

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).}$

其中的${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$表示复数的共轭。这个内积是从2-范数自然诱导的内积。L²空间在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

${\displaystyle \ell ^{p}}$空间可以看作是L ^p空间的特例。只要取L ^p空间中的${\displaystyle S=\mathbb {N} }$，测度为${\displaystyle \mathbb {n} }$上的计数测度，则对应的${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$就是${\displaystyle \ell ^{p}}$空间。

一个拓扑向量空间的对偶空间是指由这个向量空间上的所有的连续线性泛函构成的泛函空间。对某个大于1的实数p，设q是满足${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$的唯一实数，则空间L^p(S, μ)的对偶空间L^p(S, μ)^*与L^q(S, μ)同构。这个关系可以通过一个自然的同构映射展现：

${\displaystyle \kappa _{p}:\;\;L^{q}(S,\mu )\longrightarrow L^{p}(S,\mu )^{*}}$

${\displaystyle f\qquad \longmapsto \kappa _{p}(f):=\left(g\in L^{p}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right).}$

赫尔德不等式保证了其中的泛函${\displaystyle \kappa _{p}(f)}$是良好定义并且是连续的。${\displaystyle \kappa _{p}}$是一个线性映射，根据赫尔德不等式的极限情况，${\displaystyle \kappa _{p}(f)}$作为泛函的范数和${\displaystyle f}$一样，这说明${\displaystyle \kappa _{p}}$是一个等距映射。此外还可以证明，对偶空间L^p(S, μ)^*中的任一线性泛函对偶空间G都能表示成某个${\displaystyle \kappa _{p}(g)}$的形式，所以${\displaystyle \kappa _{p}}$是一个满射。结合以上性质可以推出，${\displaystyle \kappa _{p}}$是一个等距同构。在这个同构的意义下，我们常说L^p(S, μ)的对偶空间“是”L^q(S, μ)。

以上性质说明，当大于1的时候，L^p(S, μ)是一个自反空间：L^p(S, μ)的二次对偶空间（对偶空间的对偶空间）“是”它自己（在同构的意义下）。具体来说，从${\displaystyle \kappa _{p}}$出发，可以构造出以下的关系：

${\displaystyle j_{p}\colon L^{p}(S,\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\to }}L^{q}(S,\mu )^{*}{\overset {\,\,\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(S,\mu )^{**}}$

${\displaystyle \kappa _{q}}$与${\displaystyle \left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}$的复合映射j_p是从L^p(S, μ)映射到其二次对偶空间的赋值嵌入映射：

${\displaystyle \forall f\in L^{p}(S,\mu ),\;\;G\in L^{p}(S,\mu )^{*},\;\;\exists g\in L^{q}(S,\mu )}$ 使得${\displaystyle G=\kappa _{p}(g).}$

从而

${\displaystyle \;\;\left[j_{p}(f)\right](G)=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).}$

作为两个等距同构的复合映射，j_p也是等距同构。这说明L^p(S, μ)和L^p(S, μ)^**也是同构关系。

如果测度μ是σ-有限测度，那么L¹(S, μ)^*和L^∞(S, μ)也是等距同构。可以证明，

${\displaystyle \kappa _{1}:\;\;f\in L^{\infty }(S,\mu )\longmapsto \left(g\in L^{1}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right)}$

是L^∞(S, μ)到L¹(S, μ)^*上的一个同构。

L^∞(S, μ)则更为复杂。L^∞(S, μ)^*可以被刻画为所有关于测度μ绝对连续的有界带号有限可加测度的集合。如果承认选择公理，那么一般来说，L^∞(S, μ)^*这个集合要比L¹(S, μ)“大得多”。只有对某些简单的测度μ，L^∞(S, μ)^*会和L¹(S, μ)同构。

给定两个实数：1 ≤ p < q ≤ ∞，当比较L^p(S, μ)和L^q(S, μ)的时候会发现，前者中包含一些局部行为更加不规则的函数，而后者中则包含了“尾巴更粗”的函数。举例来说，${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$中的连续函数（也就是实数域上的勒贝格可积函数）可以在0的附近取很大的值，但当自变量趋于无穷大的时候，函数的值必须趋于0. 而对于${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$中的连续函数（有界连续函数），无论自变量多大，函数值都可以不在0附近，但反过来说，无论自变量取多少，函数的值也不能超过上界和下界。

假设全集S在μ中的测度有限，以及1 ≤ p < q ≤ ∞。那么由赫尔德不等式有如下限制：

${\displaystyle \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{(1/p)-(1/q)}\|f\|_{q}}$

这说明空间L^q(S, μ)可以被连续地嵌入到L^p(S, μ)里面。换句话说，L^q(S, μ)到L^p(S, μ)上的恒等映射${\displaystyle I_{p,q}}$是有界连续映射。${\displaystyle I_{p,q}}$的算子范数就是由以上不等式取等号的情形确定的：

${\displaystyle \|I_{p,q}\|=\mu (S)^{(1/p)-(1/q)}.}$

研究某个复杂的无穷维赋范空间的时候，常常会使用一个由空间中比较“简单”的元素构成的稠密子集来逼近空间中的一个元素。假设1 ≤ p < ∞，则空间L^p(S, μ)中的元素可以用测度空间 (S, Σ, μ) 上的简单可积函数逼近。给定测度空间(S, Σ, μ)，其上的一个简单可积函数指的是形同：

${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$

的函数。其中的a_j是实数或复数系数，A_j ∈ Σ 是测度有限的可测集合。由勒贝格积分的构造方法可知，简单可积函数的集合在L^p(S, μ)中稠密。

如果S本身也是测度空间，而μ是S上的博雷尔测度，那么可以通过乌雷松引理证明，所有S可测而且测度有限的子集对应的指示函数都可以通过连续函数逼近。所以所有的简单可积函数可以用连续函数逼近。因而可以证明，L^p(S, μ)中的连续函数构成的集合在L^p(S, μ)中稠密[1]^:84。对于更具体的空间，可以证明更加强的结果。比如说当S是n维欧几里德空间，而μ是S上的正则博雷尔测度的时候，可以证明，所有紧支撑的光滑函数的集合在L^p(S, μ)中稠密。