双体模型

若有 ${\displaystyle m\times n}$ 平方格子G、以及${\displaystyle mn/2}$ 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是[5][6][1]

${\displaystyle Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。[7]

例如：

• ${\displaystyle 2\times n}$ 格子：${\displaystyle Z_{n}}$是斐波那契数列 [8]
• ${\displaystyle m=n=2k=0,2,4,\ldots }$，可以使用普法夫值计算Z [9]

若G是环面，则

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi }$。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。[7]

疊蓆密鋪

Z也依赖格子的边界（参看阿兹特克钻石）。

• 
  阿茲特克钻石（Aztec diamond）密鋪，有1024个密鋪
• 
  一个可能的密鋪

阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。[7][4]

这些文章有更多阿兹特克图：[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（页面存档备份，存于）

一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

${\displaystyle s(v)=\pm 1}$

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

${\displaystyle ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2}$

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

${\displaystyle \delta (e)=0,1}$

若双体e存在，${\displaystyle \delta (e)=1}$，不然等于0。高度差函数是[7]

${\displaystyle dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3}$

这个函数定义一个${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若${\displaystyle \delta (e)}$真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。[7]的确，CKP定理[7]说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

${\displaystyle F=\log Z}$

其他骨牌模型

• 双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
• 疊蓆，日本式的骨牌密铺
• 肢解國際象棋盤問題
• 王氏砖
• 量子双体模型
• 平面图

量子场论

• 高斯自由场
• 玻茨模型
• 渗流理论
• 相变[1]、临界现象
• Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）[3]

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