熵 (信息论)

熵的概念最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的无序程度。在信息论里面，熵是对不确定性的测量。但是在信息世界，熵越高，则能传输越多的信息，熵越低，则意味着传输的信息越少。

英语文本数据流的熵比较低，因为英语很容易读懂，也就是说很容易被预测。即便我们不知道下一段英语文字是什么内容，但是我们能很容易地预测，比如，字母e总是比字母z多，或者qu字母组合的可能性总是超过q与任何其它字母的组合。如果未经压缩，一段英文文本的每个字母需要8个比特来编码，但是实际上英文文本的熵大概只有4.7比特。這是由於英文的編碼包含了各式符號，如逗號、引號等。因此英文輸入法使用了8個位元來表達一共256個字母及符號。

如果压缩是无损的，即通过解压缩可以百分之百地恢复初始的消息内容，那么压缩后的消息携带的信息和未压缩的原始消息是一样的多。而压缩后的消息可以通过较少的比特传递，因此压缩消息的每个比特能携带更多的信息，也就是说压缩信息的熵更加高。熵更高意味着比较难于预测压缩消息携带的信息，原因在于压缩消息里面没有冗余，即每个比特的消息携带了一个比特的信息。香农的信源编码定理揭示了，任何无损压缩技术不可能让一比特的消息携带超过一比特的信息。消息的熵乘以消息的长度决定了消息可以携带多少信息。

香农的信源编码定理同时揭示了，任何无损压缩技术不可能缩短任何消息。根据鸽笼原理，如果有一些消息变短，则至少有一条消息变长。在实际使用中，由于我们通常只关注于压缩特定的某一类消息，所以这通常不是问题。例如英语文档和随机文字，数字照片和噪音，都是不同类型的。所以如果一个压缩算法会将某些不太可能出现的，或者非目标类型的消息变得更大，通常是无关紧要的。但是，在我们的日常使用中，如果去压缩已经压缩过的数据，仍会出现问题。例如，将一个已经是FLAC格式的音乐文件压缩为ZIP文件很难使它占用的空间变小。

依据Boltzmann's H-theorem，香农把随机变量X的熵值 Η（希腊字母Eta）定义如下，其值域为{x₁, ..., x_n}：

${\displaystyle \mathrm {H} (X)=\mathrm {E} [\mathrm {I} (X)]=\mathrm {E} [-\ln(\mathrm {P} (X))]}$。

其中，P为X的機率質量函數（probability mass function），E为期望函數，而I(X)是X的資訊量（又稱為資訊本體）。I(X)本身是個隨機變數。

当取自有限的样本时，熵的公式可以表示為：

${\displaystyle \mathrm {H} (X)=\sum _{i}{\mathrm {P} (x_{i})\,\mathrm {I} (x_{i})}=-\sum _{i}{\mathrm {P} (x_{i})\log _{b}\mathrm {P} (x_{i})},}$

在這裏b是對數所使用的底，通常是2，自然常數e，或是10。當b = 2，熵的單位是bit；當b = e，熵的單位是nat；而當b = 10,熵的單位是Hart。

p_i = 0时，对於一些i值，对应的被加数0 log_b 0的值将会是0，这与极限一致。

${\displaystyle \lim _{p\to 0+}p\log p=0}$。

还可以定义事件 X 与 Y 分别取 x_i 和 y_j 时的条件熵为

${\displaystyle \mathrm {H} (X|Y)=-\sum _{i,j}p(x_{i},y_{j})\log {\frac {p(x_{i},y_{j})}{p(y_{j})}}}$

其中p(x_i, y_j)为 X = x_i 且 Y = y_j 时的概率。这个量应当理解为你知道Y的值前提下随机变量 X 的随机性的量。

抛硬币的熵H(X)（即期望自信息），以位元度量，與之相對的是硬幣的公正度Pr(X=1).

注意图的最大值取决於分布；在這裡，要傳達一個公正的拋硬幣結果至多需要1位元，但要傳達一個公正的拋骰子結果至多需要log2(6)位元。

如果有一个系统S内存在多个事件S = {E₁,...,E_n}，每个事件的機率分布P = {p₁, ..., p_n}，则每个事件本身的訊息（資訊本體）为：

${\displaystyle I_{e}=-\log _{2}{p_{i}}}$（对数以2为底，单位是位元（bit））

${\displaystyle I_{e}=-\ln {p_{i}}}$（对数以${\displaystyle e}$为底，单位是纳特/nats）

如英语有26个字母，假如每个字母在文章中出现次数平均的话，每个字母的訊息量为：

${\displaystyle I_{e}=-\log _{2}{1 \over 26}=4.7}$

以日文五十音平假名作為相對範例，假設每個平假名日語文字在文章中出現的機率相等，每個平假名日語文字可攜帶的資訊量為：

${\displaystyle I_{e}=-\log _{2}{1 \over 50}=5.64}$

而汉字常用的有2500个，假如每个汉字在文章中出现次数平均的话，每个汉字的信息量为：

${\displaystyle I_{e}=-\log _{2}{1 \over 2500}=11.3}$

实际上每个字母和每个汉字在文章中出现的次数并不平均，比方说较少见字母（如z）和罕用汉字就具有相对高的信息量。但上述计算提供了以下概念：使用书写单元越多的文字，每个单元所包含的訊息量越大。

熵是整个系统的平均消息量，即：

${\displaystyle H_{s}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}I_{e}=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}}$

因为和热力学中描述热力学熵的玻尔兹曼公式本质相同（仅仅单位不同，一纳特的信息量即相当于k焦耳每开尔文的热力学熵），所以也称为“熵”。

如果两个系统具有同样大的消息量，如一篇用不同文字写的同一文章，由于汉字的信息量较大，中文文章应用的汉字就比英文文章使用的字母要少。所以汉字印刷的文章要比其他应用总体数量少的字母印刷的文章要短。即使一个汉字占用两个字母的空间，汉字印刷的文章也要比英文字母印刷的用纸少。

可以用很少的标准来描述香农熵的特性，将在下面列出。任何满足这些假设的熵的定义均正比以下形式

${\displaystyle -K\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log(p_{i})}$

其中，K是与选择的度量单位相对应的一个正比常数。

下文中，p_i = Pr(X = x_i)且${\displaystyle \mathrm {H} _{n}(p_{1},\ldots ,p_{n})=\mathrm {H} (X)}$

香农熵满足以下性质，藉由將熵看成「在揭示随机变量X的值後，從中得到的信息量（或消除的不确定性量）」，可來幫助理解其中一些性質。

• 增減一概率为零的事件不改变熵：

${\displaystyle \mathrm {H} _{n+1}(p_{1},\ldots ,p_{n},0)=\mathrm {H} _{n}(p_{1},\ldots ,p_{n})}$

• 可用琴生不等式证明

${\displaystyle \mathrm {H} (X)=\operatorname {E} \left[\log _{b}\left({\frac {1}{p(X)}}\right)\right]\leq \log _{b}\left(\operatorname {E} \left[{\frac {1}{p(X)}}\right]\right)=\log _{b}(n)}$

具有均匀概率分布的信源符号集可以有效地达到最大熵log_b(n)：所有可能的事件是等概率的时候，不确定性最大。

• 计算 (X,Y)得到的熵或信息量（即同时计算X和Y）等于通过进行两个连续实验得到的信息：先计算Y的值，然后在你知道Y的值条件下得出X的值。写作

${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)=\mathrm {H} (X|Y)+\mathrm {H} (Y)=\mathrm {H} (Y|X)+\mathrm {H} (X)}$。

• 如果Y=f(X)，其中f是确定性的，那么Η(f(X)|X) = 0。应用前一公式Η(X, f(X))就会产生

${\displaystyle \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (f(X)|X)=\mathrm {H} (f(X))+\mathrm {H} (X|f(X)),}$

所以Η(f(X)) ≤ Η(X)，因此当后者是通过确定性函数传递时，变量的熵只能降低。

• 如果X和Y是两个独立实验，那么知道Y的值不影响我们对X值的认知（因为两者独立，所以互不影响）：

${\displaystyle \mathrm {H} (X|Y)=\mathrm {H} (X)}$。

• 两个事件同时发生的熵不大于每个事件单独发生的熵的总和，且仅当两个事件是独立的情况下相等。更具体地说，如果X和Y是同一概率空间的两个随机变量，而 (X,Y)表示它们的笛卡尔积，则

${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)\leq \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)}$。

在前两条熵的性质基础上，很容易用数学证明这一点。

物理学家和化学家对一个系统自发地从初始状态向前演进过程中，遵循热力学第二定律而发生的熵的变化更感兴趣。在传统热力学中，熵被定义为对系统的宏观测定，并没有涉及概率分布，而概率分布是信息熵的核心定义。

根据Jaynes（1957）的观点，热力学熵可以被视为香农信息理论的一个应用： 热力学熵被解釋成與定義系統的微態細節所需的進一步香农資訊量成正比，波茲曼常數為比例系數，其中系統與外界無交流，只靠古典熱力學的巨觀變數所描述。加熱系統會提高其热力学熵，是因為此行為增加了符合可測巨觀變數 的系統微態的數目，也使得所有系統的的完整敘述變得更長。（假想的）麦克斯韦妖可利用每個分子的状态信息，來降低热力学熵，但是羅夫·蘭道爾（於1961年）和及其同事則證明了，让小妖精行使职责本身——即便只是了解和储存每个分子最初的香农信息——就会给系统带来热力学熵的增加，因此总的来说，系统的熵的总量没有减少。这就解决了Maxwell思想实验引发的悖论。蘭道爾原理也為現代計算機處理大量資訊時所產生的熱量給出了下限，雖然現在計算機的廢熱遠遠比這個限制高。

贝尔实验室曾流传一则可信度不高的传闻：冯诺依曼建议香农为这个概念取名为“熵”，理由是这个热力学名词别人不懂，容易被唬住。[4]

• 熵 (生态学)
• 熵 (熱力學)
• 熵编码
• 麦克斯韦妖

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4