立方体堆砌

立方体堆砌 ; 立方蜂巢體
	線架圖
類型	正堆砌
家族	立方形堆砌
維度	3
對偶多胞形	立方体堆砌（自身對偶）
類比	正方形鑲嵌
識別
名稱	立方体堆砌
參考索引[1]	J11,15, A1; W1, G22
鮑爾斯縮寫;	chon
數學表示法
考克斯特符號;
考克斯特記號;	[4,3,4]
纖維流形記號	4−:2
施萊夫利符號	{4,3,4}
性質
胞	{4,3} ; 棱处相交胞：4×{4,3}; 顶点处相交胞：8×{4,3}
面	{4} ; 棱处相交面：4×{4}; 顶点处相交面：12×{4}
邊	∞; 顶点处相交棱：6
歐拉示性數	0
組成與佈局
顶点图	; （正八面体）
對稱性
對稱群
空間群	Pm3m
考克斯特群	, [4,3,4]
特性
	顶点正

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有 ${\tilde {C}}_{n}$ 对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

簡單立方。

立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：

(i, j, k)

對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
實體圖
框線圖

自然界中的立方体堆砌

氯化钠(NaCl)的晶体结构：面心立方晶格。

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系	單斜三斜	正交	四方	三方	立方
胞單位晶格	平行六面體	長方體		三方偏方面體	正方體
點群阶旋轉對稱群	[ ], (*) Order 2 [ ]⁺, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]⁺, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]⁺, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]⁺, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]⁺, (432)
圖示
空間群旋轉對稱群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]_a×[∞]_b×[∞]_c	[4,4]_a×[∞]_c	-	[4,3,4]_a
考克斯特符號	-			-

表面著色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 ${\tilde {C}}_{4}$ 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称	考克斯特标记空间群	施莱夫利符号	颜色组合（字母表示）
立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	{4,3,4}	1: aaaa/aaaa
三次截半半立方体堆砌	[4,3^1,1] Fm3m	{4,3^1,1}	2: abba/baab
截面立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	t_0,3{4,3,4}	4: abbc/bccd
截面立方体堆砌	[[4,3,4]] Pm3m (229)	t_0,3{4,3,4}	4: abbb/bbba
正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	{4,4}×t{∞}	2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	t₁{4,4}×{∞}	2: abba/abba
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×{∞}	4: abcd/abcd
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×t{∞}	8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間	S³	E³	H³
來源	有限	仿射	緊湊	仿緊	非緊
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
圖像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展标记	阶	蜂巢體（堆砌）
Pm3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Half	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
I43m (217)	4^o:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Half × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Quarter × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^o:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展标记	阶	蜂巢體（堆砌）
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Pm3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

立方體堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群	纖維流形	方形對稱群	擴展對稱群	擴展标记	擴展阶	蜂巢體（堆砌）
F43m (216)	1^o:2	a1	[3^[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2⁺:2	p2	[[3^[4]]]	↔	×2	₃
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3,3^1,1]	↔	×2	₁, ₂
Pm3m (221)	4⁻:2	d4	[2[3^[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	₄
Im3m (229)	8^o:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	₅, _(*)

参考

For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
Klitzing, Richard. . bendwavy.org. [2014-04-27].
（页面存档备份，存于）, A000029 （页面存档备份，存于） 6-1 cases, skipping one with zero marks

H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 （页面存档备份，存于）
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richard. . bendwavy.org.
Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于）

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[Index_references_ref-1] For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).

[2] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)

[3] Klitzing, Richard. . bendwavy.org. [2014-04-27].

[4] （页面存档备份，存于）, A000029 （页面存档备份，存于） 6-1 cases, skipping one with zero marks