循环小数

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

${\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}}$

${\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}$

${\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}$

• 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设${\displaystyle n}$的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m为，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
• 根據分數${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$的情況分開討論

1.除数a为${\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}$的倍數时，${\displaystyle b\div a}$有max(m,n)个不循环位数，其中${\displaystyle b}$為任意自然數，${\displaystyle K}$為非${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$之其他數。

2.如果${\displaystyle 1\leqslant b<a}$，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為${\displaystyle b\div a}$的循環節位數，而e=${\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}}$。[1]

${\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}}$表示${\displaystyle 10^{e}-1}$可以整除a，或稱${\displaystyle 10^{e}}$與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:${\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}}$來看，${\displaystyle b>a}$也成立，例如${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$與${\displaystyle {\frac {9}{7}}}$，兩者循環小數一致，因為${\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}}$，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成${\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times }$⋯${\displaystyle \times Pn^{Sn})}$時，會有max(m,n)個不循環位數，和${\displaystyle E}$個循環節位數。

其中，${\displaystyle P1^{S1}}$, ${\displaystyle P2^{S2}}$,⋯,${\displaystyle Pn^{Sn}}$分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數${\displaystyle E=[}$e₁,e₂,...,e_n${\displaystyle ]}$。

例：${\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}}$的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為${\displaystyle 3^{2}}$的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）[2]

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

1. 先看有幾位「非循環節位數（${\displaystyle {\color {blue}n\,\!}}$）」和「循環節位數（${\displaystyle {\color {red}m\,\!}}$）」，算出後，將${\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$擺於「分母」。
2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$，詳細公式如下。
3. 公式：${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}$
4. 原理：
   1. 令${\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$。
   2. 則${\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$──①式。
   3. ${\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$──②式。
   4. ②－①⇒${\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$。
   5. ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}}$。
5. 範例：${\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}}$。
   1. 令${\displaystyle x=0.1{\overline {23}}}$
   2. 則${\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}}$、${\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}}$
   3. 兩式相減得${\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1}$，${\displaystyle 990x=122\,\!}$
   4. ∴${\displaystyle x={\frac {61}{495}}}$。

利用短除法可以将分数(有理数，${\displaystyle \mathbb {Q} }$)转化为循环小数。

例如${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用「上橫線」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}$

• 使用「上点」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$

• 使用「大括号」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}$

• 0.999…
• Midy定理