矩阵树定理

在图论中，矩阵树定理（matrix tree theorem）或基尔霍夫定理（Kirchhoff theorem）是指图的生成树数量等于调和矩阵的余子式（所以需要时间多项式计算）。

若 G 有 n 个顶点，λ₁, λ₂, ..., λ_n_-1 是拉普拉斯矩阵的非零特征值，则

t(G)={\frac {1}{n}}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}.

这个定理以古斯塔夫·基爾霍夫名字命名。这也是凯莱公式的推广（若图是完全图）。

举例

L是这个钻石图的拉氏矩阵

Q=\left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&-1&0\\-1&3&-1&-1\\-1&-1&3&-1\\0&-1&-1&2\end{array}}\right].

删除任何一个行和一个列，比方说第一行和第一列：

Q^{\ast }=\left[{\begin{array}{rrr}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right].

则

$\det(Q^{*})=8=t(G)$

$K={\begin{bmatrix}1&1&0&0&0\\-1&0&1&1&0\\0&-1&-1&0&1\\0&0&0&-1&-1\\\end{bmatrix}}.$

完全图 K_n 的调和矩阵是

{\begin{bmatrix}n-1&-1&\cdots &-1\\-1&n-1&\cdots &-1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-1&-1&\cdots &n-1\\\end{bmatrix}}.

任何餘因子的行列式是 n^n-² 。再说L的所有特征值是n，而且L只有n-1个特征向量。所以生成树的总数又是 n^n-² 。

拉氏矩阵有这个属性：任何行或列的元素总和等于0。所以，无论删除什么行或列， $\det(L^{*})$ 都是不变的。或者说L的任何餘因子有同样的行列式。

若K是接续矩阵，L = KK^T。在矩阵K中，删除任何一个行或列得到矩阵F。设 FF^T = M₁₁ 。

\det \left(M_{11}\right)=\sum _{S}\det \left(F_{S}\right)\det \left(F_{S}^{T}\right)=\sum _{S}\det \left(F_{S}\right)^{2}

可以表示这个行列式给予生成树的数量。

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