图着色问题

有两个相关的术语：

1. 图色数（英語：），也被称为顶点色数（），指将一张图上的每个顶点染色，使得相邻的两个点颜色不同，最小需要的颜色数。最小染色数用${\displaystyle \chi (G)}$或${\displaystyle \gamma (G)}$表示。
2. 边色数（）：指将一张图上的每条边染色，使有公共顶点的边颜色不同，最少需要的颜色数叫边色数，用${\displaystyle \chi '(G)}$表示。

色数和团数（clique number）

团（英語：）是一个图中两两相邻的顶点构成的集合。最大团是一个图中顶点最多的团，它的顶点数被称为${\displaystyle G}$的团数，记为${\displaystyle \omega (G)}$。${\displaystyle \omega (G)}$和${\displaystyle \chi (G)}$满足如下关系：

${\displaystyle \chi (G)\geq \omega (G)}$

色数和独立数（independence number）

独立集（英語：）是一个图中两两不相邻的顶点所构成的集合。最大独立集是一个图中顶点最多的独立集，它的定点数被称为${\displaystyle G}$的独立数，记为${\displaystyle \alpha (G)}$。${\displaystyle \alpha (G)}$和${\displaystyle \chi (G)}$满足如下关系：

${\displaystyle {\frac {n}{\alpha (G)}}\leq \chi (G)\leq n-\alpha (G)+1}$

全部非同构三阶图和它们的色多项式。空图 E₃(红)可以进行1-着色；其他图不可以。绿色的图用3种颜色有12种染色方法

色多項式用於計算給定數量的顏色下對某圖進行塗色的可行方式數。例如，考慮有3個頂點的完全圖 ${\displaystyle K_{3}}$，若只使用兩種顏色，${\displaystyle K_{3}}$根本無法被著色；若使用三種顏色，則有 ${\displaystyle 3!=6}$ 種方式進行著色；若使用四種顏色，則有 ${\displaystyle P_{3}^{4}=24}$ 個有效著色方案。因此，對於 ${\displaystyle K_{3}}$，有效著色數量的表格將從以下內容開始：

色多项式是一個函數，記錄将一个图 G 进行 t-着色的方法数，记作 ${\displaystyle P(G,t)}$。正如其名所述，${\displaystyle P(G,t)}$ 是一個关于 t 的多项式。回到上面 ${\displaystyle K_{3}}$ 的例子，事實上，${\displaystyle P(K_{3},t)=t(t-1)(t-2)}$。

顯而易見的，色多項式 ${\displaystyle P(G,t)}$ 比圖色數蘊涵更多的資訊，更精確的說，${\displaystyle \chi (G)}$ 是色多項式最小的非零解正整數，即

${\displaystyle \chi (G)=\min\{k\,\colon \,P(G,k)>0\}.}$

下表给出了部分图的色多项式：

部分图的色多项式

三角形 K3	${\displaystyle t(t-1)(t-2)}$
完全图 Kn	${\displaystyle t(t-1)(t-2)\cdots (t-(n-1))}$
n个顶点的树	${\displaystyle t(t-1)^{n-1}}$
环 Cn	${\displaystyle (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)}$
佩特森图	${\displaystyle t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)}$

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