范畴化

范畴化的一种形式采用了以集合论描述的结构，将集合解释为范畴内物件的“同构类”。例如自然数集可视作有限集的势的集合（任意两个有相同势的集合都视作同构）。这时，对自然数集的操作，如加法、乘法等运算可以视作对有限集范畴的副积和积。这里的思想不太抽象地说，是操作由具体物件组成的集合，并取副积（并集）或积（构建元素的数组）；之后，集合的内在结构便通过“同构取等”被抽象出来，产生算术的抽象理论。这是“去范畴化”的过程，范畴化会把它逆过来。

另一个例子包括拓扑学中的同调。埃米·诺特给出了同调的现代阐释：即通过范畴化贝蒂数的标记，得到的特定自由阿贝尔群的秩。[3]另见Khovanov同调在纽结理论中作为纽结不变量。

有限群理论中的一个例子是，对称函数环的范畴化可以通过对称群的表示的范畴实现。去范畴化映射将Specht模对${\displaystyle \lambda }$的偏变为Schur函数的同一个偏，即

${\displaystyle S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda }}$

基本遵循了从关联的格罗滕迪克群的最适基到对称函数环的表示论最适基的特征映射。这样的映射反映了结构如何保持相似，例如

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{ and }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

在各自的基上有相同的分解数，都可以由Littlewood–Richardson系数确定。

对范畴${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，令${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$为${\displaystyle {\mathcal {B}}}$的格罗滕迪克群。

令${\displaystyle A}$为是自由阿贝尔群的环，并使${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$为${\displaystyle A}$的基，这样${\displaystyle \mathbf {a} }$中的乘法就是正定的，即

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$，其中${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$

令${\displaystyle B}$为${\displaystyle A}$-模，则${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$的（弱）阿贝尔范畴会包括一个阿贝尔范畴${\displaystyle {\mathcal {B}}}$、一个同构关系${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$、精确自函子${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$，则

1. 函子${\displaystyle F_{i}}$将${\displaystyle a_{i}}$的活动施于模${\displaystyle B}$，即${\displaystyle \phi [F_{i}]=a_{i}\phi }$；
2. 有同构关系${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$，即复合${\displaystyle F_{i}F_{j}}$可以分解为函子${\displaystyle F_{k}}$的直和。相对地，${\displaystyle a_{i}a_{j}}$也可以分解为基元素${\displaystyle a_{k}}$的线性组合。

• 组合证明，将数论的定理以集合论的类似物表示的过程。
• 高阶范畴
• 高维代数
• 2-环

• A blog post by one of the above authors (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html （页面存档备份，存于）.