克利福德代数

克里福代數與外代數密切相關。外代數是克里福代數的特例：若在克里福代數的定義中，取${\displaystyle Q=0}$，則克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$就是外代數${\displaystyle \wedge (V)}$。即使${\displaystyle Q}$非零，只要基域${\displaystyle K}$的特徵非${\displaystyle 2}$，${\displaystyle \wedge (V)}$和${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$之間仍有典範的線性同構。換言之，兩者作為向量空間自然地同構，但其上的乘法有分別。特徵為${\displaystyle 2}$時，兩者仍線性同構，然而該同構並非自然。克里福代數的乘法和指定的子空間是比外代數更豐富的結構，因為用到${\displaystyle Q}$提供的額外資訊。

克里福代數為濾套代數，而相伴的分次代數為外代數。

具體而言，克里福代數可視為外代數的「量子化」（見量子群），正如外爾代數為對稱代數的量子化。

外爾代數和克里福代數還具有*-代數的結構，並能整合成某個超代數的偶次和奇次項，見典範對易與反對易關係代數。

克里福代數有時稱為幾何代數，尤其定義在實域上時。

有限維實向量空間上的非退化二次型必等價於某個標準對角型：

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$

其中${\displaystyle n=p+q}$為向量空間的維數。非負整數對${\displaystyle (p,q)}$稱為二次型的符號。配備此二次型的實向量空間一般記為${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$，而${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$生成的克里福代數則記為${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$。${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {R} )}$可能表示${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n,0}(\mathbb {R} )}$或${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )}$，視乎作者偏好二次型正定抑或負定。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$的標準基${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$由${\displaystyle n=p+q}$支兩兩正交的向量組成，其中${\displaystyle p}$支的平方為${\displaystyle +1}$，其餘${\displaystyle q}$支的平方則為${\displaystyle -1}$。於是，代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$中，也有該${\displaystyle p}$支向量的平方為${\displaystyle +1}$，該${\displaystyle q}$支向量的平方為${\displaystyle -1}$。

低維的例子有：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,0}(\mathbb {R} )}$與${\displaystyle \mathbb {R} }$自然同構，因為並無非零向量。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$為由${\displaystyle e_{1}}$（其平方為${\displaystyle -1}$）生成的二維代數，從而與複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$代數同構。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$為由${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{1}e_{2}\}}$張成的四維代數。後三個基元的平方皆為${\displaystyle -1}$，且兩兩相反交換，故代數與四元數系${\displaystyle \mathbb {H} }$同構。

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$為八維代數，與直和${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$（分裂複四元數系）同構。

也可以研究複域上的克里福代數。${\displaystyle n}$維複向量空間上，每個非退化二次型都等價於標準對角型

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$

由此，對每個維數${\displaystyle n}$，在同構意義下，恰有一個克里福代數定義在配備非退化二次型的${\displaystyle n}$維複向量空間上，記為${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )}$。

最小的幾個例子為：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }$，複數系，

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$，雙複數系，

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2}(\mathbb {C} )}$，複四元數系，其中${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$表示複域上的${\displaystyle n\times n}$矩陣組成的代數。

本節將會構造哈密頓的四元數系，作為克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$的偶子代數。

設${\displaystyle V}$為實三維向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$，二次型${\displaystyle Q}$為歐氏度量的相反數，則對於${\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{3}}$，相應的純量積（雙線性型）由

${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}$

給出。

現引入向量${\displaystyle v,w}$的克里福積${\displaystyle vw}$，使其滿足

${\displaystyle vw+wv=-2(v\cdot w).}$

（此處有負號，以使該代數與四元數的聯繫更清晰。）

設${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$為${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的一組正交單位基，則由上式可知，其兩兩的克里福積滿足

${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$

且

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1.}$

克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$的任意元素可以表示成

${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$

若只考慮偶次項，則得到偶子代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )}$，其任意元素可表示成

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$

若定義四元數的基元${\displaystyle i,j,k}$為

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},}$

則可知${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )}$與哈密頓的實四元數代數同構，理由是：

${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$

${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k,}$

且

${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2}=-1,}$

與四元數的運算法則一致。

本節構造二元四元數系，作為配備退化二次型的實四維向量空間的偶克里福代數。[7][8]

設向量空間${\displaystyle V}$為實四維空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$，並設二次型${\displaystyle Q}$為源自${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$上歐氏度量的退化型，即相應的雙線性型${\displaystyle d}$滿足：對任意${\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{4}}$，

${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

換言之，此退化純量積只考慮將${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$投影到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$後的像。

向量${\displaystyle v,w}$的克里福積${\displaystyle vw}$由下式定義：

${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$

同上節，負號是為了明確該代數與四元數系的對應關係。

記${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$的標準基元為${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$，則其克里福積滿足關係

${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m}\,\,\,(m\neq n),}$

及

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)}$也記為${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3,1}(\mathbb {R} )}$（下標分別表示平方為${\displaystyle +1,-1,0}$的基元個數），其一般元素有16項，而僅取偶次項時，得到偶子代數${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(\mathbb {R} ^{4},d)}$，其一般元素形如

${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$

於是，可分別定義四元數基元${\displaystyle i,j,k}$和二元數基元${\displaystyle \varepsilon }$為

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4},}$

從而給出${\displaystyle \mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)}$與二元四元數代數的同構。

要驗證二元四元數的乘法法則，可以計算

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$

和

${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$

後者的計算中，${\displaystyle e_{1}}$和${\displaystyle e_{4}}$的換位將符號改變了偶數次（即無改變）。同樣的方法能證明，二元數基元${\displaystyle \varepsilon }$可與全部四元數基元${\displaystyle i,j,k}$交換。

對於${\displaystyle \dim V=1}$的情況，若${\displaystyle Q}$有對角化${\displaystyle \mathrm {diag} (a)}$，即存在非零向量${\displaystyle v\in V}$令${\displaystyle Q(v)=a}$，則${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$代數同構於${\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)}$，即由滿足${\displaystyle x^{2}=a}$的單一個元素${\displaystyle x}$生成的${\displaystyle K}$-代數。

更具體而言，有三種情況：

1. 若${\displaystyle a=0}$（即${\displaystyle Q}$為零二次型），則${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$代數同構於${\displaystyle K}$上的二元數代數。
2. 若${\displaystyle a}$非零，且為${\displaystyle K}$中的平方數，則${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong K\oplus K}$。
3. 其餘情況下，${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$同構於${\displaystyle K}$的二次域擴張${\displaystyle K({\sqrt {a}})}$。

對於${\displaystyle \dim V=2}$的情況，若${\displaystyle Q}$有對角化${\displaystyle \mathrm {diag} (a,b)}$，其中${\displaystyle a,b}$皆非零（${\displaystyle Q}$非退化時必然存在），則${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$同構於由${\displaystyle x,y}$生成的${\displaystyle K}$-代數，其中${\displaystyle x,y}$滿足${\displaystyle x^{2}=a,\ y^{2}=b,\ xy=-yx}$。

於是${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$同構於（廣義）四元數代數${\displaystyle (a,b)_{K}}$。在${\displaystyle a=b=-1}$且${\displaystyle K=\mathbb {R} }$時，該代數化歸為哈密頓的四元數代數，即${\displaystyle \mathbb {H} =(-1,-1)_{\mathbb {R} }}$。

作為特殊情況，若有某個${\displaystyle x\in V}$使得${\displaystyle Q(x)=1}$，則${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong M_{2}(K)}$是二階方陣的代數。

給定向量空間${\displaystyle V}$，可以構造外代數${\displaystyle \wedge (V)}$，其定義不取決於${\displaystyle V}$上任何二次型。事實上，若${\displaystyle K}$的特徵非${\displaystyle 2}$，則${\displaystyle \wedge (V)}$與${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$作為向量空間自然同構（而在特徵${\displaystyle 2}$時，仍有同構，但不一定自然）。該自然同構當且僅當${\displaystyle Q=0}$時為代數同構。所以，可以將克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$視為${\displaystyle V}$的外代數額外配備取決於${\displaystyle Q}$的乘法。（準確而言是外代數的「量子化」，見#作為外代數的量子化。）原有的外積仍有不取決於${\displaystyle Q}$的定義。

描述以上同構的簡單方法是：先取${\displaystyle V}$的正交基${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$，並擴展成${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$的基（如#基與維數所述）。定義映射${\displaystyle f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to \wedge (V)}$使

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},}$

並線性擴展。注意此處用到${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$正交。可以證明，映射${\displaystyle f}$的定義無關正交基的選擇，故為自然同構。

若${\displaystyle K}$的特徵為${\displaystyle 0}$，則也可以藉反對稱化（antisymmetrizing）定義以上同構：定義一列映射${\displaystyle f_{k}:\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}\to \mathrm {Cl} (V,Q)}$使

${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)},}$

其求和符號中，${\displaystyle \sigma }$取遍${\displaystyle k}$階對稱群${\displaystyle S_{k}}$的元素。由於${\displaystyle f_{k}}$反對稱，其導出獨一個映射${\displaystyle f_{k}':\wedge ^{k}(V)\to \mathrm {Cl} (V,Q)}$。該些映射的直和為${\displaystyle \wedge (V)}$至${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$的線性映射。可以證明該映射為同構，且是自然同構。

也可以從更高等的觀點，在${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$上構造濾過，以看待兩者的關係。注意張量代數${\displaystyle T(V)}$有自然濾過${\displaystyle F^{0}\subset F^{1}\subset F^{2}\subset \cdots }$，其中${\displaystyle F^{k}}$含所有階不高於${\displaystyle k}$的張量。將此濾過投射到克里福代數上，就得到${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$上的濾過。與此濾過相伴的分次代數

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$

與外代數${\displaystyle \wedge (V)}$自然同構。由於濾過代數的相伴分次代數總與原濾過代數作為濾過向量空間同構（藉選取${\displaystyle F^{k}}$在${\displaystyle F^{k+1}}$中的補集），可知克里福代數與外代數在任何特徵（包括${\displaystyle 2}$）下皆同構（儘管不一定自然）。

本節假設特徵非${\displaystyle 2}$。[lower-alpha 3]

克里福代數為${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-分次代數（又稱為超代數），以下說明原因。在${\displaystyle V}$上，線性映射${\displaystyle v\mapsto -v}$（關於原點對稱）保持二次型${\displaystyle Q}$，故由克里福代數的泛性質，該線性映射延拓成代數自同構

${\displaystyle \alpha$ :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}

由於${\displaystyle \alpha }$為對合（即其平方為恆同映射），可以將${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$分解成${\displaystyle \alpha }$的正和負特徵空間：

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q),}$

其中

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$

由於${\displaystyle \alpha }$是自同構，有：

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q),}$

其中方括號上標的運算模${\displaystyle 2}$，故上式賦予${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$作為${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-分次代數的結構。子空間${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$為${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$的子代數，稱為偶子代數。而子空間${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$則稱為奇部（其不為子代數）。此${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-分次在克里福代數的分析和應用上很重要。自同構${\displaystyle \alpha }$稱為主對合（main involution）或次數對合（grade involution）。此${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-分次中的純元素，即偶部或奇部的元素，分別稱為偶元和奇元。

當特徵非${\displaystyle 2}$時，由於${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$與外代數${\displaystyle \wedge (V)}$有典範同構，${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)}$作為向量空間，承繼${\displaystyle \wedge (V)}$的${\displaystyle \mathbb {N} }$-分次和${\displaystyle \mathbb {Z} }$-分次。[lower-alpha 4]然而，該分次僅為向量空間分次，而非代數分次。換言之，克里福乘積並不遵守該${\displaystyle \mathbb {N} }$-分次或${\displaystyle \mathbb {Z} }$-分次，僅遵守上段的${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-分次：例如，若${\displaystyle Q(v)\neq 0}$，則${\displaystyle v\in \mathrm {Cl} ^{1}(V,Q)}$，但${\displaystyle v^{2}\in \mathrm {Cl} ^{0}(V,Q)}$，而不在${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{2}(V,Q)}$中。不過此等分次之間有自然的聯繫：${\displaystyle \mathbb {Z} /2\cong \mathbb {N} /2\mathbb {N} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。更甚者，克里福代數有${\displaystyle \mathbb {Z} }$-濾過：

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$

克里福數的次數通常指${\displaystyle \mathbb {N} }$-分次的次數。

克里福代數的偶子代數${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$本身亦同構於某個克里福代數。[lower-alpha 5][lower-alpha 6]若${\displaystyle V}$為具有非零範數${\displaystyle Q(a)}$的向量${\displaystyle a}$與子空間${\displaystyle U}$的正交直和，則${\displaystyle \mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)}$同構於${\displaystyle \mathrm {Cl} (U,-Q(a)Q)}$，其中${\displaystyle -Q(a)Q}$為二次型${\displaystyle Q}$乘上${\displaystyle -Q(a)}$，並限制到${\displaystyle U}$。作為例子，以上結論在實域上推出：

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbb {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbb {R} ),&q>0,\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbb {R} ),&p>0.\end{cases}}}$

在${\displaystyle Q}$負定的情況下，上式給出包含關係${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,n-1}(\mathbb {R} )\subset \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )}$，延伸序列

${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \cdots }$

類似可證，在複域上, ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )}$的偶子代數同構於${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n-1}(\mathbb {C} )}$。

除自同構${\displaystyle \alpha }$外，克里福代數的分析中，還有兩個重要的反自同構。記得張量代數${\displaystyle T(V)}$有將全部乘法次序反轉的反自同構：

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$

由於理想${\displaystyle I_{Q}}$在該反轉下不變，該反轉也定義${\displaystyle \mathrm {Cl} (V,Q)\cong T(V)/I_{Q}}$上的反自同構，稱為轉置或反轉，記為${\displaystyle x\mapsto x^{\mathrm {t} }}$。轉置為反自同構，即有${\displaystyle (xy)^{\mathrm {t} }=y^{\mathrm {t} }x^{\mathrm {t} }}$。上述定義中，並未用到${\displaystyle \mathrm {Z} /2}$-分次，故可複合自同構${\displaystyle \alpha }$與轉置，而得另一個反自同構。新的反自同構稱為克里福共軛，記為${\displaystyle x\mapsto {\overline {x}}}$。以符號表示：

${\displaystyle {\overline {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$

兩個反自同構中，轉置更本質。[lower-alpha 7]

此三種運算皆是對合。此外，其對${\displaystyle \mathbb {Z} }$-分次純元的作用皆是乘上${\displaystyle \pm 1}$，且符號僅取決於次數${\displaystyle {\bmod {4}}}$。換言之，若${\displaystyle x}$是${\displaystyle k}$次純元，則

${\displaystyle \alpha (x)=\pm x,\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x,\qquad {\overline {x}}=\pm x,}$

其中符號載於下表：

${\displaystyle k{\bmod {4}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	…
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle (-1)^{k(k-1)/2}}$
${\displaystyle {\overline {x}}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle (-1)^{k(k+1)/2}}$