偏导数

f = x² + xy + y²的图像。我们希望求出函数在点(1, 1)的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。

这是上图中y = 1时的图像片段。

假设ƒ是一个多元函数。例如：

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点(1, 1)的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数，通过对方程求导，我们可以发现f在点(x, y)的导数，记为：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y}$

于是在点(1, 1)的xOz平面平行的切线的斜率是3。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3}$

在点(1, 1)，或称“f在(1, 1)的关于x的偏导数是3”。

函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}}$。

也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f_x，它是一个一元函数。也就是说：

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}}$。

一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f_a，把y映射到a² + ay + y²：

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}}$。

在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f_a是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y}$

以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了f在y方向上的变化：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y}$

这就是f关于y的偏导数，在这裡，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数f(x₁,...,x_n)在点(a₁,...,a_n)关于x_i的偏导数定义为：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}}$

在以上的差商中，除了x_i以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}$，根据定义，

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间Rⁿ（例如R²或R³）上的标量值函数f(x₁,...x_n)。在这种情况下，f关于每一个变量x_j具有偏导数∂f/∂x_j。在点a，这些偏导数定义了一个向量：

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)}$

这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f(a)。这样，梯度便决定了一个向量场。

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R³中用单位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$来定义Nabla算子 (∇) 如下:

${\displaystyle \nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}} }$

或者，更一般地，对于n维欧几里得空间Rⁿ 的坐标(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和单位向量(${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$):

${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$

圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$。

V关于r的偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}}$，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

V关于h的偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}$，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\partial h}{\partial r}}}$

以及

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial h}}}$

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：

${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\partial h}{\partial r}}}$

这便给出了关于r的全导数：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}$

可以化简为：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=k\pi r^{2}}$

类似地，关于h的全导数是：

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\pi r^{2}}$

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。

与关于r和h二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量${\displaystyle \nabla V=({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}})=({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2})}$。

在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。

f的一阶偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$

二阶偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f}$

二阶混合偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=f_{xy}=\partial _{yx}f}$

高阶偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}\,\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}}$

当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中，f关于x的偏导数，把y和z视为常数，通常记为：

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}}$

像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。设U为Rⁿ的一个开子集，f : U → R是一个函数。我们定义f在点a = (a₁, ..., a_n) ∈ U关于第i个变量x_i的偏导数为：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$

即使在某个给定的点a，所有的偏导数∂f/∂x_i(a)都存在，函数仍然不一定在该点连续。然而，如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续，那么f在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称f是一个C¹函数。

偏导数${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$可以视为定义在U内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称f为在该点（或集合）的一个C²函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}}$。

• George B. Thomas & Ross L. Finney. . Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.