斯托克斯定理

对开尔文-斯托克斯定理的诠释，面S，它的边界∂S，和法线向量${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$。

旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

设${\displaystyle S}$是分片光滑的有向曲面，${\displaystyle S}$的边界为有向闭曲线${\displaystyle \varGamma }$，即${\displaystyle \varGamma =\partial S}$，且${\displaystyle \varGamma }$的正向与${\displaystyle S}$的侧符合右手规则： 函数${\displaystyle P(x,y,z)}$、${\displaystyle Q(x,y,z)}$、${\displaystyle R(x,y,z)}$都是定义在“曲面${\displaystyle S}$连同其边界${\displaystyle \varGamma }$”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有：[4]

${\displaystyle \iint _{S}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

${\displaystyle =\oint _{\varGamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}$

引进符号行列式，这个公式也可以写成以下形式：

${\displaystyle \iint _{S}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &\cos \beta &\cos \gamma \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\P&Q&R\end{vmatrix}}\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}$

这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。這和函數的旋度有關，用梯度算符可寫成：[5]

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$

它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n=2 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的內積把向量场看作等价的1-形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。

类似的，高斯散度定理

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \;\mathrm {d} V=\int _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

也是广义斯托克斯定理的一个特例，如果我们把右邊的 ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$ 看成是等价的(n-1)-形式，可以通过和体积形式的内积实现。 微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。