质量

约翰内斯·开普勒，1610。

行星名	开普勒行星
	半长轴	轨道周期	太阳质量
水星	0.387099AU(天文单位)	0.240 842恒星年（year）	${\displaystyle 4\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$
金星	0.723332AU	0.615 187恒星年
地球	1AU	1恒星年
火星	1.523662AU	1.880 816恒星年
木星	5.203363AU	11.861 776恒星年
土星	9.53707AU	29.456 626恒星年

约翰内斯·开普勒第一个给出了行星轨道的精确描述，并且据此第1次描述了引力质量。1600年，开普勒为第谷·布拉赫工作，并因此得以接触到1批比以前任何资料都精确的天文观测资料。通过研究第谷的火星观测资料，开普勒意识到传统的天文学方法的预测并不精确，接下来他花了5年时间发展自己的方法，来刻画行星的运动。

在开普勒最终的行星模型中，他成功地描述了行星的轨道：行星的轨道是一个以太阳为焦点的椭圆。主动引力质量的概念是开普勒第3行星运动定律的直接推论。开普勒发现每个行星的轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，等价地，两者之比对于太阳系所有的行星来说，都是常数。这个常数的比值直接衡量了太阳的主动引力质量，其单位为距离（R）³/时间（t）²，即人们所知的标准引力参数：

${\displaystyle \mu =4\pi ^{2}{\frac {R^{3}}{t^{2}}}\propto \mathrm {Gravitational\ Mass} }$

卫星名	伽利略卫星
	半长轴	轨道周期	木星质量
艾奥·木卫一	0.002 819AU	0.004 843恒星年	${\displaystyle 0.0038\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$
欧罗巴·木卫二	0.004486AU	0.009722恒星年
盖尼米得·木卫三	0.007155AU	0.019589恒星年
卡里斯托·木卫四	0.012585AU	0.045694恒星年

1609年，开普勒发表了他的“开普勒行星运动三定律”，解释了行星在太阳的影响下，是如何按照椭圆轨道运行的。同年8月25日，伽利略·伽利莱第1次向一些威尼斯商人展示了他的望远镜。在1610年1月初，伽利略在木星周围发现了4个暗淡的天体，他将它们误认为恒星。然而，经过几天的观察，伽利略意识到这些“恒星”实际上在绕着木星做轨道运动。这4个卫星（后来为了纪念发现者，被命名为伽利略卫星）是第1批被发现的绕着其他天体，而不是太阳或地球做轨道运动的天体。在接下来的18个月里，伽利略继续观测这些卫星，到1611年中期的时候，他对它们的周期已经有了相当精确的估计。不久，每个卫星的半长轴也被估计出来，这使得木星的引力质量可以由其卫星的轨道计算出来。木星的引力质量大约是太阳引力质量的0.1%。

伽利略·伽利莱，1636。

自由落体的小球下落的距离与下落时间的平方成正比。

1638年之前的某个时候，伽利略将他的注意力转向了物体受地球引力场作用而下落的现象，他积极地尝试着去描述这类运动。伽利略不是第一个研究地球引力场的人，也不是第一个准确描述其基本特性的人。然而，伽利略的依赖科学的实验构建物理原理的信念对于此后几代物理学家都有着深远的影响。伽利略使用很多科学实验来描述自由落体运动。现在并不清楚这些实验仅仅是用来说明概念的理想实验，还是真的由伽利略做过，[4]不过这些实验的结果是真实可信的。在伽利略的学生温琴佐·维维亚尼所写的传记中记载，伽利略曾经在比萨斜塔让两个材料相同但质量不同的小球落下，来演示它们的下落时间与其质量无关。[注释 4]为了支持这个结论，伽利略提出了如下的理论论据：如果将两个质量不同，下落速度也不同的物体用绳子拴起来，那么这个联合的系统是因为它有更加重的质量而下落地更加快了呢，还是因为轻物体拖住了重物体而下落地更加慢？这个问题的唯一可信的答案就是，两个物体下落地一样快。[5]

在1638年出版的《论两种新科学》里描述了另一个实验。伽利略虚构的一个人物，萨尔维亚蒂，描述了一个用铜球和木质斜面所做的实验。这个木斜面长12腕尺（cubit），宽半腕尺，三指厚，上面有一个光滑无摩擦的直凹槽。凹槽内衬有羊皮纸，绝对光滑无摩擦。凹槽内有一个硬的，光滑的，非常圆的铜球。斜面可以以不同的角度倾斜，来减慢铜球的加速度，使得时间可以测量。令铜球从一个已知的距离处滚下，测量铜球滚落的时间。铜球滚落的时间用下面描述的水钟测量：

“在高处放置一大容器的水，容器下接一个细管，水从细管流出，每次实验都在下方用一个小玻璃杯子将水收集起来。实验结束后，在精确的天平上，称量收集的水的重量。不同重量的比就代表了不同时间长度的比。这个方法非常精确，即使实验被一次又一次地重复，结果仍然没有可觉察的误差。”[6]

伽利略发现对于一个自由落体的物体，下落的距离总是跟时间的平方成正比：

${\displaystyle g={\frac {Distance}{Time^{2}}}\propto Gravitational\,Field}$

伽利略于1642年1月8日在意大利佛罗伦萨附近的阿塞蒂里（Arcetri）去世。伽利略证明了在地球引力场的作用下，做自由落体运动的物体的加速度是常数。与伽利略同时代的约翰内斯·开普勒证明了，在太阳引力质量的作用下，天体沿着椭圆轨道运行。然而，在伽利略一生中，伽利略引力场和开普勒引力质量的关系并没有被理解。

艾萨克·牛顿，1689。

罗伯特·胡克在1674年发表了他的引力概念，里面写道：“所有的天体，无论它是什么，都有一种指向其自己中心的吸引力或者引力”，“它们也吸引它们作用范围内的其他天体”。他进一步说明，引力随着物体中心之间的距离的减小而增加。[7]在罗伯特·胡克和艾萨克·牛顿1679~1680的信件当中，胡克猜想引力的大小按照两物体之间距离的平方而衰减。[8]

地球的卫星		地球的质量
半长轴	轨道周期
0.002 569 天文单位（AU）	0.074 802 恒星年（year）	${\displaystyle 0.000012\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$ = ${\displaystyle 398600{\frac {km^{3}}{sec^{2}}}}$
地球引力	地球半径
0.00980665 km / sec2	6 375 km

胡克力劝微积分发展的先驱牛顿，完成开普勒轨道的数学细节，来证明胡克的猜想是正确的。牛顿本人的研究证实胡克是对的，但是由于两人个性的不同，牛顿选择不把这个结果透露给胡克。艾萨克·牛顿一直没有声张他的发现，直到1684年，才告诉他的一个朋友，爱德蒙·哈雷，说他已经解决了引力轨道的问题，但是却错误地让他的发现沉睡在办公室里。[9]在哈雷的鼓励下，牛顿决定继续发展他关于引力的想法，并发表了他所有的发现。1684年11月，艾萨克·牛顿给爱德蒙·哈雷发了一份文件，这份文件现已丢失，但是它的标题推测为“De motu corporum in gyrum”（论物体的轨道运动）。[10]哈雷将牛顿的发现呈送给伦敦皇家学会，并承诺随后即有全面的说明。牛顿后来将他的想法写到了一本三卷的书集当中，标题为Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica（自然哲学的数学原理）。第一卷于1686年4月28日被皇家学会接受，第二卷是1687年3月2日，第三卷是1687年4月6日。皇家学会在1687年5月由牛顿自费出版了这本书的全集。[11]

艾萨克·牛顿架起了开普勒引力质量和伽利略引力加速度之间的桥梁，并且证明了如下的关系式：

${\displaystyle g={\frac {\mu }{r^{2}}},}$

其中，g是一个物体穿越一处存在引力场的空间时表现出的加速度，μ是引起引力场的物体的引力质量（标准引力参数），r是极坐标（两个物体中心之间的距离）。

通过寻找物体引力质量和引力场之间的精确关系，牛顿证明测量引力质量的第二种方法。地球的质量可以用开普勒的方法测定（通过月球的轨道），或者也可以通过测量地球表面的重力加速度，然后将这个数值乘以地球半径的平方来测定。地球的质量大约为太阳质量的百万分之三。直到现在，还没有发现其他测量引力质量的精确手段。[12]

牛顿的炮弹是一个理想实验，在伽利略引力加速度和开普勒椭圆轨道之间架起了一座桥梁。这个实验出自牛顿1728年的书《世界体系的论述》之中。根据伽利略的引力概念，下落的石块以不变的加速度落向地面。然而，牛顿解释道，当一个石块被水平抛出时（垂直于地球引力），它的运动轨迹是曲线。“一个掷出的石块，由于自身的重量而偏离了当只考虑投掷时，石块本应遵循的直线运动，在空中描绘出了一条曲线；沿着这两条弯曲的路线，石块最终落回了地面。它被掷出时的速度越大，当它落回地面时它运动的距离就越远。”[13]

牛顿进一步推理道，如果一个物体以足够的速度“在一座高山的山顶水平掷出”，“它最终将离地球非常之远，然后回到它被掷出的山峰。”牛顿的理想实验如右图所示。位于非常高山顶上的一台大炮，水平方向发射出一枚炮弹。如果它的速度很低，那么它仅仅落回地面（路径A和路径B）。然而，如果它的速度大于或等于某个阈值（环绕速度），但是又没有大到足以完全离开地球（逃逸速度），那么它将围绕着地球不停地做椭圆轨道运动（路径C和路径D）。

牛顿的炮弹说明了地球引力质量和引力场的关系；然而还是有很多模棱两可之处。罗伯特·胡克在1674年断言：“所有的天体，无论它是什么，都有一种指向其自己中心的吸引力或者引力”，但是胡克既没有解释为什么只有天体才有引力的吸引，也没有解释为什么引力指向天体的中心。

为了回答这个问题，牛顿引入了一个全新的概念即引力质量是“一般的（万有的）”：任何物体都有引力质量，因此，任何物体都产生引力场。牛顿进一步假设每个物体引力场的强度都随着离该物体距离的平方而衰减。按照这个假设，牛顿计算了非常多小物体构成一个大的球体时整体的引力场。牛顿发现一个巨大的球体（像地球或太阳，给定半径处具有大致相同的密度），其引力场正比于物体的总质量，[14]反比于离物体中心距离的平方。[15]

一个苹果感受到指向地球各处的引力场；然而，这些场加起来产生了一个单独的强大的指向地球中心的引力场。

牛顿的万有引力质量概念如左图所示。地球的每个部分都有引力质量，都产生一个指向它的引力场。然而，这些引力场的总效应等价于一个单独的强大的指向地球中心的引力场。苹果表现出的行为就好像一个单独的强大的引力场把它向地球中心加速。

牛顿的万有引力质量概念使得引力质量和传统的重量、质量概念有着相同的立足点。例如，古罗马人使用角豆树种子作为重量标准。罗马人将一个未知重量的物体放到天平的一侧，然后在天平另一侧放角豆树种子，增加种子的数量，直到天平平衡。如果一个物体的重量与1728个角豆树种子相等，这个物体的重量就是1罗马磅。

根据牛顿的万有引力理论，每个角豆树种子都产生引力场，因此，如果一个人有极多的角豆树种子，让它们形成一个巨大的球体，那么这个球体的引力场就正比于角豆树种子的数量。因此，理论上有可能精确地计算出要产生同地球或太阳相同的引力场所需的角豆树种子的数量。因为罗马重量单位都是用角豆树种子定义的，因此知道了地球或太阳的“角豆树种子质量”，就可以用罗马磅，罗马盎司或其他罗马单位来计算质量。

卡文迪许扭秤装置的垂直剖面图，包括它所在的建筑。大球悬挂在一个架子上，它们可以通过外面的滑轮旋转到小球旁边的位置。卡文迪许论文的第一页。

这种可能性还可以扩展到罗马单位和角豆树种子之外。英国磅，譬如，最初定义为7000颗大麦粒的重量。因此，如果一个人能确定地球的“大麦粒质量”（产生与地球相同引力场所需的大麦粒的数量），那么他就可以用英国磅计算出地球的质量。同样的，千克的原始定义为等价于一升纯水的质量，因此，地球按照传统千克计算的质量，在理论上就可以通过计算产生与地球相同的引力场需要多少升纯水（或者国际千克原器）来确定。事实上，这不过是一个简单的抽象，任何传统的质量单位理论上都可以用来衡量引力质量。

用传统的质量单位度量引力质量原理上很简单，但事实上却非常困难。根据牛顿的理论，所有的物体都产生引力场，理论上可以把极其多的小物体聚集起来形成一个巨大的引力球。然而，从现实的观点来看，小物体的引力场极其微弱很难测量。如果一个人能够收集极其多的物体，那么最终的球体可能会太大以至于不能在地球表面建造，而在太空中建造又太昂贵。牛顿的万有引力的书籍发表于17世纪80年代，但是第一个用传统质量单位成功地测量了地球质量的实验，卡文迪许实验，一百多年以后，直到1797年才出现。卡文迪许发现地球的密度为水的5.448 ± 0.033倍。截止到2009年，用千克衡量的地球质量只精确到五位小数点，然而它的引力质量的精度超过九位小数。

惯性质量用物体对加速度的抵抗程度衡量的质量。

为了理解什么是物体的惯性质量，可以先从经典力学和牛顿运动定律开始。然后再来看，当把狭义相对论考虑进来时，经典的质量定义应当如何修改，使其比经典力学更加精确。然而，狭义相对论并没有从本质上改变“质量”的含义。

根据牛顿第二定律，假设一个物体的质量是m，如果在任何瞬间，其遵循如下的运动方程：

${\displaystyle F=ma,}$

其中F是施加在物体上的力，a是物体的加速度。[注释 5]现在，先把什么是“施加在物体上的力”这个问题的确切答案放到一边。

这个方程说明了质量是如何和惯性联系在一起的。考虑两个质量不同的物体。如果对其施加相同的力，质量较大的物体的加速度较小，而质量较小的物体的加速度较大，就可以说质量较大的物体在响应力的作用时，对于改变其运动状态表现出较强的“抵抗性”。

然而，施加“相同的”力的说法迫使定义回到事实中来：目前还没有真正定义过什么是力，但是可以用牛顿第三定律来回避这个困难。牛顿第三定理说，如果一个物体给另一个物体施加一个力，那么第一个物体就会受到一个大小相同方向相反的力。更精确一点，如果有两个物体A和B，它们有着不变的惯性质量m_A和m_B。并且把这两个物体从其他所有的物理影响当中隔离出来，因此仅有的力就是B施加给A的力，记为F_AB，和A施加给B的力，记为F_BA。牛顿第二定律说：

${\displaystyle F_{AB}=m_{A}a_{A},}$

${\displaystyle F_{BA}=m_{B}a_{B},}$

其中a_A和a_B分别是A和B的加速度。假设这两个加速度不为零，那么两者之间的力就不为零。这种情况发生在，譬如说，两个物体相互碰撞的过程中。根据牛顿第三定律：

${\displaystyle F_{AB}=-F_{BA},}$

因此，

${\displaystyle m_{A}=-{\frac {a_{B}}{a_{A}}}m_{B}.}$

注意这里要求a_A不为零保证了这个分数是定义良好的。

这就是原则上如何测量物体的惯性质量的方法。选择一个“参考”物体，定义它的质量为（譬如说）1千克，就可以通过测量与参考物体碰撞的加速度来测量宇宙中的一切物体的质量。

牛顿引力质量的概念定义在牛顿引力定律之上。假设有两个物体A和B，距离为r_AB。引力定律说如果A和B分别具有引力质量M_A和M_B，那么每个物体都感受到对方所施加的引力，其大小为：

${\displaystyle F=G{\frac {M_{A}M_{B}}{(r_{AB})^{2}}},}$

其中G是万有引力常数。上面的方程式可以重新表达如下：如果g是参考物体在引力场中给定位置处的加速度，那么一个引力质量为M的物体受到的引力为：

${\displaystyle F=Mg.}$

这是质量可以用重量表达的基础。在弹簧秤上，譬如说，力F正比于称重盘下面弹簧的形变，根据胡克定律，校正称，将重力加速度g考虑进来，使得物体的质量M可以直接读出。天平测量物体的引力质量，只有弹簧秤测量物体的重量。

惯性质量和引力质量的等价有时又被称为伽利略等价原理或弱等价原理。这个原理最重要的推论应用到自由下落的物体上面。假设有一个物体，其惯性质量和引力质量分别为m和M。如果这个物体唯一受到的力仅仅来自于一个引力场g，将牛顿第二定律和引力定律一起使用，可得到加速度为：

${\displaystyle a={\frac {M}{m}}g.}$

这个式子表明引力质量与惯性质量之比是个常数K，当且仅当所有的物体在给定的引力场中下落得一样快。这个现象被称为“自由落体的普遍性”。（此外，通过定义合适的单位，可以令这个常数为1。）

第一个说明了自由落体的普遍性的实验由伽利略所做。最常见的说法是伽利略通过在比萨斜塔上丢下物体来得到他的结果，但是这种说法很可能是假的。实际上，他的实验是通过让小球在斜面上滚动而完成的。一个又一个精度越来越高的实验被完成，譬如罗兰德·冯·埃特在1889年利用扭秤摆所做的。[17]截止到2008年，还没有发现自由落体的普遍性的——因此也就是伽利略等价原理的任何偏离，实验的精度至少是10^-12。更加精确的实验仍然在进行之中。

自由落体的普遍性只能应用在引力是唯一的作用力的系统里。其他所有力，尤其是摩擦力和空气阻力，必须被排除或者至少是可以忽略的。譬如，在空气中从同样高度放下一个锤子和一片羽毛，羽毛将花更多的时间才能落到地上；羽毛实际上并不是做自由落体运动，因为向上的空气阻力与向下的引力是可以相抵的。另一方面，如果实验在真空中进行，那里没有空气阻力，锤子和羽毛就应该精确地同时落地（假设两物体之间的加速度以及地面朝向物体的加速度可以忽略）。这个实验在高中的实验室里就可以很容易地做出来，通过在一个用真空泵抽出了空气的透明管里下落物体。在天然就是真空的环境里做这个实验就更加具有戏剧性了，比如大卫·斯科特在阿波罗15号执行任务期间在月球表面做的实验。

等价原理的一个强版本，即爱因斯坦等价原理或强等价原理，在广义相对论里处于中心地位。爱因斯坦等价原理说在足够小的时空区域里，没有办法区分均匀的加速度和均匀的引力场。因此，广义相对论假设引力场作用在质体上的力是物体沿直线运动的趋势（换句话说就是它的惯性）的结果，因此引力应该是物体惯性质量和引力场强度的函数。

书籍

• Sir Isaac Newton; N. W. Chittenden. . D. Adee. 1848 [12 March 2011]. （原始内容存档于2017-02-07）.