函子

設C和D為範疇，從C至D的函子為一映射${\displaystyle F}$:

• 將每個对象${\displaystyle X\in C}$映射至一对象${\displaystyle F(X)\in D}$上，
• 將每個態射${\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}$映射至一態射${\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D}$上，使之滿足下列條件：
• 對任何對象${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$，恆有${\displaystyle F(\mathbf {id} _{X})=\mathbf {id} _{F(X)}}$。
• 對任何態射${\displaystyle f:X\to Y,\;g:Y\to Z}$，恆有${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$。換言之，函子會保持單位態射與態射的複合。

一個由一範疇映射至其自身的函子稱之為「自函子」。

兩個函子${\displaystyle F,G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$間的自然變換是一族態射

${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)\quad (X\in {\mathcal {C}})}$

使得任何${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$及態射${\displaystyle f:X\to Y}$均滿足下述交換圖：

diagram defining natural transformations

當${\displaystyle \eta _{X}}$皆為同構時，可以定義此自然變換之逆${\displaystyle (\eta _{X})^{-1}}$，兩者的合成為恆等自然變換。此時稱${\displaystyle \eta _{X}}$為函子${\displaystyle F,G}$之間的同構。

對反變函子也可以類似地定義自然變換。

常數函子：將每個对象${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$映射至一固定对象${\displaystyle Y_{0}\in {\mathcal {D}}}$中，並將所有態射映射至${\displaystyle \mathbf {id} _{Y_{0}}}$中的函子C → D。常數函子亦之稱為選擇函子。

對角函子：對角函子被定義為由D至函子範疇D^C的函子，將每個在D內的对象映射至此对象的常數函子上。

極限函子：對一固定的指標範疇，若每個函子J→C都有個極限（即若C為完全的），則極限函子C^J→C即為將每個函子映射至其極限的函子。此類函子的存在性可以由將其理解為對角函子的右伴隨函子，且引入福端伴隨函子定理來證明之。這需要一個適當版本的選擇公理。相似的說法也可應用在上極限函子（其為協變的）之中。

冪集合：冪集合函子P : Set → Set將每個集合映射至其冪集合，且將每個函數${\displaystyle f:X\to Y}$映射至從${\displaystyle U\subseteq X}$至其值域${\displaystyle f(U)\subseteq Y}$的映射。亦可考慮反變冪集合函子，將f　映射至從U映射至其在Y內的逆象。

對偶向量空間：此函子將每個向量空間映射至其對偶空間中，並將每個線性映射映射至其對偶映射中，為一個由所有在一固定體上的向量空間所組成的範疇映射至其自身的反變函子。

基本群：考慮一個由有點空間（即帶有可區分點的拓樸空間）所組成的範疇，其对象為對 (X, x₀)，其中X為一拓樸空間且x₀為X中的一點，由 (X,x₀)至 (Y, y₀)的態射為一連續映射f : X → Y，且滿足f(x₀) = y₀。

對每個有可區分點x₀的拓樸空間X，可定義一個基於x₀上的基本群π₁(X, x₀)。這個一個基於x₀上的環的同倫類的群。若f : X → Y是一個有點空間的態射，則每個在X內，基於點x₀上的環即可經由f得出一個在Y內，基於y₀的環。此一運算和同倫等價關係及環的複合相符，故可得出一個由π(X, x₀)至π(Y, y₀)的群同態。因此，即可得出一個由有點拓樸空間範疇至群範疇的函子。

在拓樸空間（沒有可區分點）範疇中，可考慮一般曲線的同倫類，但無法複合，除非它們共有一個端點。因此可以有一基本廣群，而無法一定有一基本群。

連續函數的代數：一個由拓樸空間的範疇（其態射為連續映射）至實結合代數的範疇的反變函子，其將每個拓樸空間X映射至此空間上所有實變連續函數的代數C(X)上。每個連續映射f : X → Y都可導出一個代數同態C(f) : C(Y) → C(X)，經由讓每個C(Y)內的&phi，C(f)(φ) = φ o f。當空間${\displaystyle X}$帶有更多結構（例如光滑流形、複流形）時，定義可以相應地推廣。

切叢和餘切叢：將每個微分流形映射至其切叢中且將每個光滑映射映射至其導數中的映射，為一由微分流形的範疇至向量叢的範疇的協變函子。同樣地，將每個微分流形映射至其餘切叢中且將每個光滑映射映射至其回拉的映射，為一反變函子。

在每個點上做此建構可以給出由有點微分流分的範疇至實向量空間的範疇的協變及反變函子。

群作用/表示：每個群G都可以被認為帶有單一個对象的範疇。一個由G至Set的函子只是G在一特定集合上的群作用，即一個G-集合。同樣地，一個由G至向量空間範疇Vect_K的函子會是個G的線性表示。一般來說，一個函子G → C可以被認為是G在範疇C中的一個对象上的「作用」。

李代數：將每個實（複）李群映射至其實（複）李代數可定義出一函子。

張量積：若C為在一固定體上的向量空間的範疇且其態射為線性映射，則張量積${\displaystyle V\otimes W}$可定義出一個函子C × C → C，其中兩個引數都是協變的。

遺忘函子：函子U : Grp → Set將群映射至其源集合且將群同態映射至其源函數。此類的函子會「遺忘」部份的結構，因此稱之為「遺忘函子」。另一個例子為函子Rng → Ab，其將環映射至其源加法阿貝爾群中。在Rng中的態射（環同態）則遺忘了其中的乘法，而變成了在Ab中的態射（阿貝爾群同態）。其他如體、模、拓樸空間等基於集合的結構也可以取其遺忘函子。

自由函子：遺忘函子的反向即為自由函子。自由函子F : Set → Grp將每個集合X映射至由X產生的自由群，函數則映射至自由群間的群同態。自由函子的建構可存在於許多基於由集合的結構的範疇。詳見自由对象。

同態群：對每一對群A、B，皆可得出一個由所有從A至B的群同態所組成的阿貝爾群Hom(A,B)。這是一個其第一個引數為反變，第二個引數為協變的函子，即為一函子Ab^op × Ab → Ab（其中的Ab為具群同態的阿貝爾群範疇）。若f : A₁ → A₂且g : B₁ → B₂為兩個在Ab中的態射，則群同態Hom(f,g) : Hom(A₂,B₁) → Hom(A₁,B₂)以φ ${\displaystyle \mapsto }$ g o φ o f來給定。詳見同態函子。

表示函子：可將上述例子廣義化至任一範疇C中。即對每一對在C中的对象X、Y，可得出一個由從X至Y的所有態射所組成的集合Hom(X,Y)。這會定義出一個映射至Set，且其第一個引數為反變，第二個引數為協變的函子，即一函子C^op × C → Set。若f : X₁ → X₂且g : Y₁ → Y₂為C中的態射，則其群同態Hom(f,g) : Hom(X₂,Y₁) → Hom(X₁,Y₂)以φ ${\displaystyle \mapsto }$ g o φ o f來給定。

此類函子即稱之為表示函子。建構出此函子的一個重要目的在於決定一給定函子是否為可表示的。

預層：若X為一拓撲空間，則在X上的開集會形成一個在包括下的偏序集合Open(X)。如同每個偏序開集一般，Open(X)會形成一個小範疇，帶有態射U → V若且唯若${\displaystyle U\subseteq V}$時。在Open(X)上的反變函子稱之為在X上的「預層」。例如，將每個開集U賦值至在U上的實變連續函數的結合代數，即可得到一個在X上的代數的頂層。

從函子的公理中可得出兩個重要的推論：

• F將每個在C中的交換圖變換成D中的一個交換圖；
• 若f為C中的一個同構，則F(f)也會為D中的一個同構。

若函子${\displaystyle F}$滿足${\displaystyle F(f)}$為同構若且唯若${\displaystyle f}$為同構，則稱之為保守函子。

在任意範疇C上，可定義一個單位函子1_C，其將每個对象和態射映射至其自身。也可以將函子複合，即若F為一由A至B的函子且G為一由B至C的函子，則可組成一個由A至C的複合函子。函子的複合依定義是可結合的。這顯示函子可以被認為是範疇的範疇中的態射。

一個只具單一对象的小範疇等同於一個么半群，此一單一对象範疇的態射可被視為是么半群中的元素，且其在範疇中的複合則可以視為是么半群中的運算。此時這類範疇間的函子無非是么半群間的同態。在此意義下，任意範疇間的函子可被視為是么半群同態至多於一個对象的範疇的一種廣義化。

雙函子是函子概念在「雙變元」時的推廣。形式的定義則定義在兩個範疇的積上的函子${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$。

函子${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$是一個自然的例子，它對第一個變元反變，對第二個變元協變。

雙函子是有「兩個」引數的函子。同態函子即為一個例子；其第一個引數為反變的，第二個引數則為協變的。

形式上來說，雙函子是一個其定義域為積範疇的函子。例子，同態函子即為C^op × C → Set。

多函子是將函子的概念廣義化至n個引數。而雙函子當然是一個n=2的多函子。

函子本身亦可視為函子範疇中的對象，該範疇中的態射是函子間的自然變換。近來有以「函子的態射」取代術語「自然變換」的趨勢。

函子也經常以泛性質定義，例子包括了張量積，模或群的直和、直積，自由群與自由模的構造；許多構造可以統合於正極限與逆極限的概念下。

泛建構也往往給出一對伴隨函子。

• 本質滿射函子：使得值域中任意對象皆同構於某個${\displaystyle F(X)}$的函子。
• 正合函子：保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中相當於保存正合序列。
• 忠實函子：使得對任意對象${\displaystyle X,Y}$，${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\to \mathrm {Hom} (FX,FY)}$為單射的函子。
• 完全函子：使得對任意對象${\displaystyle X,Y}$，${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\to \mathrm {Hom} (FX,FY)}$為滿射的函子。
• 完全忠實函子：既完全且忠實的函子稱為完全忠實函子。${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$是完全忠實函子的充要條件是${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to F({\mathcal {C}})}$是範疇的等價，其中${\displaystyle F({\mathcal {C}})}$表示${\displaystyle {\mathcal {D}}}$中由${\displaystyle F}$的像生成的滿子範疇。
• 保守函子：使得${\displaystyle F(f)}$為同構若且唯若${\displaystyle f}$為同構的函子。
• 加法函子：指預加法範疇（或加法範疇）中保存同態集（以及雙積）的阿貝爾群結構的函子。
• 伴隨函子：${\displaystyle (F,G)}$滿足下述條件時稱為一對伴隨函子：${\displaystyle \mathrm {Hom} (F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} (-,G(-))}$。