扭棱十二面体

扭棱十二面體的展開動畫。

扭棱十二面體由92個面[15]、60個頂點和150條邊組成[16]，在其92個面中有80個正三角形和12個正五邊形[17][18]；60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形和1個正五邊形的公共頂點，在頂點圖中可以用5.3.3.3.3來表示[19]；150條稜中有60條稜是三角形和五邊形的公共稜、90條稜是三角形和三角形的公共稜。

若扭棱十二面體邊長為1，則其表面積為：

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}$

體積為：

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}$

其中 ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 為黄金分割率，而 ${\displaystyle \xi }$ 是三次方程式 ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0}$ 的唯一實數解，換言之 ${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}$ ，其值約為 ${\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}$。

扭棱十二面體有2種二面角，一種是正三角形與正三角形交角，另一種是正三角形與正五邊形交角。其中正三角形與正三角形交角角度約為164.175度[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }}$

而正三角形與正五邊形交角的角度約為152.9299度[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }}$

其中 ${\displaystyle \varphi }$、${\displaystyle \xi }$ 定義如上。

座標值

其中，${\displaystyle x}$與${\displaystyle \varphi }$的定義同#二面角章節 ${\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}}$ ${\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}}$ ${\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}$

若一扭棱十二面體邊長為一，且質心位於原點，則其頂點座標為下列式子的偶置換：

• ${\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)}$，且偶數加上正號
• ${\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)}$，且奇數加上正號，左旋與右旋則為y座標相反[20][21]。