大斜方截半二十面体

若一大斜方截半二十面體的邊長為a，則有下列性質：

• 體積與表面積：

  ${\displaystyle {\begin{aligned}A&=30\left[1+{\sqrt {2\left(4+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {6}}}}\right)}}\right]a^{2}\\&\approx 175.031045a^{2}\end{aligned}}}$[7][8]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}V&=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206.803399a^{3}\end{aligned}}}$[7][8]

• 外接球半徑

  ${\displaystyle R_{1}={\frac {a}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\approx 3.8023945a}$[8]，由此可知，外接球體積為${\displaystyle {\frac {4\pi {R_{1}}^{3}}{3}}}$，其值約為${\displaystyle 230.28a^{3}}$[8]

• 內切球半徑

  ${\displaystyle R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3.4409548a}$，由此可知，內切球體積為${\displaystyle {\frac {4\pi {R_{2}}^{3}}{3}}}$，其值約為${\displaystyle 170.65a^{3}}$[8]

• 面心距
  • 正方形面心距為：${\displaystyle {\frac {\left(3+2{\sqrt {5}}\right)a}{2}}\approx 3.73606798a}$[8]
  • 正六邊形面心距為：${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}(2+{\sqrt {5}})a}{2}}\approx 3.668542a}$[8]
  • 正十邊形面心距為：${\displaystyle R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3.44095a}$[8]
• 令${\displaystyle \rho }$為大斜方截半二十面體的邊心距、十二面體外接球半徑為${\displaystyle b}$、正二十面體外接球半徑為${\displaystyle c}$，和菱形三十面體長對角線的接球半徑為${\displaystyle d}$。 存在下列等式：
  • ${\displaystyle {\frac {a}{\rho }}={\sqrt {2}}{\frac {\operatorname {tan} 18^{\circ }}{\sqrt {3}}}={\sqrt {\frac {10-4{\sqrt {5}}}{15}}}}$[9]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{R_{1}}}=2{\sqrt {\frac {31-12{\sqrt {5}}}{241}}}}$[9]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{10}}}$[9]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{6}}}$[9]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{d}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{22}}}$[9]

将一个正十二面体（正二十面体）三十条棱都切一刀，在二十（十二）个顶点处也切一刀，但是要切的薄一点，就可以得到一个大斜方截半二十面体。

在三维笛卡儿坐标系中，以原点为幾何中心，边长2τ－2的大斜方截半二十面体的坐标是以下坐标的全偶排列[10]：

(±1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),

(±2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),

(±1/φ, ±φ², ±(−1 + 3φ)),

(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and

(±φ, ±3, ±2φ),

其中${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$即黄金分割率

大斜方截半二十面體圖與大斜方截半二十面體有相同的拓樸結構，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的大斜方截半二十面體相同，共有120個頂點和180條邊，是阿基米德圖中，頂點和邊數最多的圖，且是一個位於零對稱性和立方體的阿基米德圖[12]。

施萊格爾圖

3階對稱性

2階對稱性