拓扑空间

根據定义动机一節可以作如下的定義：

 ${\displaystyle X}$ 的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ 若滿足以下开集公理

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}}$	${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是開的
${\displaystyle \forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]}$	有限個開集的交集也是開的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]}$	任意個開集的併集也是開的

則称 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$ 則被稱為一拓扑空間，${\displaystyle X}$ 內的元素 ${\displaystyle x\in X}$ 則称为拓扑空间 ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$ 的点。

开集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ 是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 闭集：若 ${\displaystyle X-A}$ 是开集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是闭集。
• 邻域：若存在开集 ${\displaystyle O}$ 使得 ${\displaystyle x\in O\subseteq A}$ ，則稱 ${\displaystyle A}$ 是点 ${\displaystyle x}$ 的邻域。
• 开核：${\displaystyle A}$ 的開核（或內部）${\displaystyle A^{\circ }}$ 定義為${\displaystyle A}$ 內所有开集之并，也就是
  ${\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}$

${\displaystyle X}$ 的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 若滿足如下闭集公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}}$	${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是閉的
${\displaystyle \forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]}$	有限個閉集的併集是閉的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]}$	任意個閉集的交集是閉的

則称 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的闭集系（其中的元素称为闭集）。

开集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「」（關閉）的过去分词「」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}$

為开集系，類似地，對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}}$

為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。

从闭集系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 开集：${\displaystyle X-A}$ 是闭集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是开集。
• 闭包：${\displaystyle A}$ 的闭包${\displaystyle {\overline {A}}}$ 定義為包含A的所有闭集之交，也就是
  ${\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}$

函数 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$（ ${\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$ 指 ${\displaystyle X}$ 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 ${\displaystyle x\in X}$ 满足如下邻域公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}}$	${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的任意元素（${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 裡的元素都是 ${\displaystyle x}$ 的邻域）
${\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$ 的任二邻域的交集也是 ${\displaystyle x}$ 的邻域
${\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	包含任何 ${\displaystyle x}$ 的邻域的任意子集也是 ${\displaystyle x}$ 的邻域
${\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$ 的每個邻域內有個 ${\displaystyle x}$ 的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域

这样任意 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 被称为 ${\displaystyle x}$ 的邻域系， ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 裡的元素 ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ 則称为 ${\displaystyle x}$ 的邻域。

換句話說，函數 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ 将 ${\displaystyle X}$ 的每个点 ${\displaystyle x\in X}$ 映射至 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ ，而 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 則是所有 ${\displaystyle x}$ 的邻域所構成的集族。

邻域系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}$

因為 ${\displaystyle X}$ 包含任意邻域， ${\displaystyle X}$ 本身顯然為任意 ${\displaystyle x\in X}$ 的領域，故 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ；另外空集合 ${\displaystyle \varnothing }$ 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$。

若取 ${\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ，根據邻域公理的第二項有 ${\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ；若取 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ，且 ${\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}}$ ，那換句話說

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}$

這樣的話有

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}$

那這樣根據邻域公理第三項，${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$，所以 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ，若對任意 ${\displaystyle x\in X}$ 取

${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}$

那 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 ${\displaystyle V=U^{\circ }}$ ），所以對所有 ${\displaystyle x\in X}$ 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。

从邻域系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 开集：对任意 ${\displaystyle x\in A}$ ，有 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則稱 ${\displaystyle A}$ 是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
• 开核：${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}$（開核裡的每一點，都有一個包含於 ${\displaystyle A}$ 的領域。）
• 闭包：${\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}$。（閉包裡每一點的領域，都跟 ${\displaystyle A}$ 有交集。）

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle c:P(X)\to P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle c(A)}$）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算${\displaystyle c}$满足下述的闭包公理：

• A₁：${\displaystyle A\subseteq c(A)}$；
• A₂：${\displaystyle c(c(A))=c(A)}$；
• A₃：${\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}$；
• A₄：${\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }$。

集合${\displaystyle A}$的闭包通常记为${\displaystyle {\overline {A}}}$。

从闭包出发定义其它概念：

• 从闭包定义闭集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是闭集，当且仅当${\displaystyle A={\overline {A}}}$。
• 从闭包定义开核：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的开核${\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}}$。
• 从闭包定义邻域：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是点${\displaystyle x}$的邻域，当且仅当${\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}$。

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle o:P(X)\to P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle o(A)}$）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算${\displaystyle o}$满足如下开核公理：

• I₁：${\displaystyle o(A)\subseteq A}$；
• I₂：${\displaystyle o(o(A))=o(A)}$；
• I₃：${\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}$；
• I₄：${\displaystyle o(X)=X}$。

集合${\displaystyle A}$的开核通常记为${\displaystyle A^{\circ }}$。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

• 从开核定义开集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是开集，当且仅当${\displaystyle A=A^{\circ }}$。
• 从开核定义邻域：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是点${\displaystyle x}$的邻域，当且仅当${\displaystyle x\in U^{\circ }}$。
• 从开核定义闭包：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的闭包${\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }}$。

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的一元运算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle d(A)}$）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当${\displaystyle d}$满足以下导集公理：

• D₁：${\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }$；
• D₂：${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$；
• D₃：${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$；
• D₄：${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$

从导集出发定义其它概念：

• 从导集定义闭集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是闭集，当且仅当${\displaystyle d(A)\subseteq A}$。

• ${\displaystyle f}$对任何闭集的原像是闭集。
• 对点${\displaystyle f(x)}$的任一邻域${\displaystyle V}$，都存在点${\displaystyle x}$的一个邻域${\displaystyle U}$，使得${\displaystyle f(U)\subset V}$，则称${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x}$连续，而连续映射即点点连续的映射。
• 对任一集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}}$成立。
• 对任一集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }}$成立。

给定拓扑空间${\displaystyle (X,\tau )}$，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

内部，内点

A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。

外部，外点

X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。

边界，边界点

c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。

触点

A的闭包c(A)中的点称为A的触点。

稠密性，稠密集

称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。

边缘集

称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。

疏性，疏集

称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。

第一范畴集，第二范畴集

称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。

聚点，导集

X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。

孤立点

A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。

孤点集，离散集

称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。

自密集

称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。

完备集

称A为完备集，当且仅当A等于其导集。

自密核

A的最大自密子集称为A的自密核。

无核集

称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$。

空间${\displaystyle X}$上的一个网${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$是从有向集合${\displaystyle A}$映至${\displaystyle X}$的映射。

若存在${\displaystyle x\in X}$，使得对每个${\displaystyle x}$的邻域${\displaystyle U}$都存在${\displaystyle \beta \in A}$，使得${\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U}$，则称网${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$收敛至${\displaystyle x}$。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
6. 3个元素的集上总拓扑数29个。
7. 4个元素的集上总拓扑数355个。
8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性

X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：

• 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
• x的邻域系和y的邻域系相同。
• ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$，且${\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}}$。

可分的

X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。

第一可数

X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。

第二可数

X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

连通

X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。

局部连通

X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

完全不连通

X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

道路连通

X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x 且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。

局部道路连通

X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。

单连通

X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}$都与常数映射同伦。

可缩

X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

超连通

X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

极连通

X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

平庸的

X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

（详细资料请参照紧集）

紧性

X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。

林德洛夫性质

X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。

仿紧

X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。

可数紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。

列紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。

伪紧

X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。