范畴论

再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一種，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為函子。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。

實際上，即是定義了一個「範疇和函子」的範疇，其元件為範疇，（範疇間的）態射為函子。

經由研究範疇和函子，不只是學習了一類數學結構，及在其之間的態射；還學習了「在不同類型的數學結構之間的關係」。此一基本概念首次出現於代數拓撲之中。不同的「拓撲」問題可以轉換至通常較易解答的「代數」問題之上。在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構，可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。

再抽象化一次，架構通常會「自然地相關連」，這個第一眼會覺得很曖昧的概念，產生了自然變換（將一個函子映射至另一函子的方法）此一清楚的概念。許多數學上的重要架構可以從此一角度來研究。

一个“范畴” ${\displaystyle C}$ 由如下3個数学对象組成：

1. 一個類 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)}$，其元素稱為「物件」；
2. 一個類 ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)}$，其元素稱為「態射」或「箭號」。每個態射 ${\displaystyle f}$ 都只有一個「源物件」 ${\displaystyle a}$ 及一個「目標物件」 ${\displaystyle b}$（其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 都在 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)}$ 內），稱之為「從 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 的態射」，標記為 ${\displaystyle f:a\to b}$。
   所有從 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 的態射所組成的類稱之為「態射類」，標記為 ${\displaystyle \mathrm {hom} (a,b)}$、 ${\displaystyle \mathrm {hom} _{C}(a,b)}$或 ${\displaystyle \mathrm {mor} (a,b)}$。
3. 一個二元運算，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$，都會有 ${\displaystyle \circ$ :\mathrm {hom} (b,c)\times \mathrm {hom} (a,b)\to \mathrm {hom} (a,c)} 。兩個態射 ${\displaystyle f:a\to b}$ 及 ${\displaystyle g:b\to c}$ 的複合寫做 ${\displaystyle g\circ f}$ 或 ${\displaystyle gf}$[註 1]，並會符合下列兩個公理：
   • 結合律：若 ${\displaystyle f:a\to b}$、 ${\displaystyle g:b\to c}$及 ${\displaystyle h:c\to d}$，則 ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$；
   • 單位元：對任意物件 ${\displaystyle x}$，總存在一個態射 ${\displaystyle 1_{x}:x\to x}$（稱為 ${\displaystyle x}$ 的單位態射），使得對每個態射 ${\displaystyle f:a\to b}$，都會有 ${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$。

由以上公理可證得，每個物件都只存在一個單位态射。有些作者将物件本身用單位态射来定义，这在本质上是相同的。

如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。许多重要的范畴不是小范畴。

范畴中的态射有时又称为“箭號”，这种叫法来自于交换图。

每一范畴都由其对象，态射，和复合态射来表述。为了方便起见，以下的“函数”即是指态射，不再一一说明。

• Set 是所有集合和它们彼此之间的全函数构成的范畴
• Ord 是所有预序集和其间的单调函数构成的范畴
• Mag 是所有广群和其间的同态映射构成的范畴
• Med 是所有对换广群和其间的同态映射构成的范畴
• Grp 是所有群和其间的群同态构成的范畴
• Ab 是所有阿贝尔群和其间的群同态构成的范畴
• Vect_K 是所有域 ${\displaystyle K}$（${\displaystyle K}$固定）上的向量空间和其间的${\displaystyle K-}$线性映射构成的范畴
• Top 是所有拓扑空间和其间的连续函数构成的范畴
• Met 是所有度量空间和其间的测地映射构成的范畴
• Uni 是所有一致空间和其间的一致连续函数构成的范畴
• 任何偏序集${\displaystyle (P,\leq )}$构成一个小范畴，其对象是${\displaystyle P}$的元素，其态射是从${\displaystyle x}$指向${\displaystyle y}$的箭头，其中${\displaystyle x\leq y}$。
• 任何以单一对象${\displaystyle x}$（${\displaystyle x}$为任意固定集合）为基础的独异点构成一个小范畴。独异点的任意元素通过二元运算给出一个从${\displaystyle x}$到${\displaystyle x}$的映射，所有这些映射恰好是范畴的所有态射；范畴的复合态射也正好是独异点的二元运算。事实上，范畴可以看成独异点的推广；关于独异点的定义和定理有一些可以推广到范畴。
• 任何有向图对应于一个小范畴：其对象是图的顶点，其态射是图的路径，其复合态射是路径的连接。称此范畴为有向图的“自由范畴”。
• 设${\displaystyle I}$是个集合，“${\displaystyle I}$上的离散范畴”是一个小范畴，以${\displaystyle I}$的元素为对象，以${\displaystyle I}$的恒等映射为其唯一的态射。
• 任何范畴${\displaystyle C}$可以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有相同的对象，然而所有态射都是反方向的。称此为“对偶”或者“反范畴”，记作 ${\displaystyle C^{op}}$（${\displaystyle op}$来自英文的 opposite）。
• 设${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$是范畴，则它们的“直积范畴”${\displaystyle C\times D}$ 被定义为：其对象为取自${\displaystyle C}$的一个对象和取自${\displaystyle D}$的一个对象的有序对，其态射亦为取自${\displaystyle C}$的一个态射和取自${\displaystyle D}$的一个态射的有序对，其复合态射则由其分量分别复合。

映射之间的关系（比如${\displaystyle fg=h}$）在大多数情形下可用更直观的交换图来表示，在此图中对象被表示成顶点，态射被表示为箭头。

一个表为${\displaystyle f:a\rightarrow b}$的态射可具有以下任意一种性质。

• 单态射：对所有态射${\displaystyle g_{1},\ g_{2}:\ x\to a}$，若${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$，则${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$。
• 满态射：对所有态射${\displaystyle g_{1},\ g_{2}:\ b\to x}$，若${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$，则${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$
• 若${\displaystyle f}$即是单态射也是满态射，则为双态射。
• 同构：若有态射${\displaystyle g:\ b\to a}$，如${\displaystyle f\circ g=1_{b}}$和${\displaystyle g\circ f=1_{a}}$。[lower-alpha 1]
• 自同态：若${\displaystyle a=b}$。${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$表示${\displaystyle a}$的自同态类。

• 自同构：若${\displaystyle f}$即同构，也自同态。${\displaystyle \mathrm {aut} (a)}$表示${\displaystyle a}$的自同构类。
• 屈态射（retraction）：若${\displaystyle f}$的右逆存在。即有态射${\displaystyle g:\ b\to a}$和${\displaystyle f\circ g=1_{b}}$。
• 切态射（section）：若${\displaystyle f}$的左逆存在。即有态射${\displaystyle g:\ b\to a}$和${\displaystyle g\circ f=1_{a}}$。

屈态射必为满态射，切态射必为单态射。另外，下面三条表述等价：

• ${\displaystyle f}$是单态射，也是屈态射；
• ${\displaystyle f}$是满态射，也是切态射；
• ${\displaystyle f}$同构。

如果${\displaystyle F}$和${\displaystyle G}$是从范畴${\displaystyle C}$到范畴${\displaystyle D}$的（协变）函子，则从${\displaystyle F}$到${\displaystyle G}$的一个自然变换会给${\displaystyle C}$中的每个对象${\displaystyle X}$，关联一个${\displaystyle D}$中相应的态射${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$，使得对${\displaystyle C}$中的任何态射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，都有${\displaystyle \eta _{Y}\cdot F(f)=G(f)\cdot \eta _{X}}$；这也就是说下列图表是可交换的：

如有从${\displaystyle F}$到${\displaystyle G}$的自然变换，使得${\displaystyle \eta _{X}}$对${\displaystyle C}$中所有对象${\displaystyle X}$来说都同构，则称这两个函子${\displaystyle F}$和${\displaystyle G}$“自然同构”。

设${\displaystyle K}$是域，${\displaystyle V}$是${\displaystyle K}$上的任意向量空间，则有从向量空间到其二重对偶的一个“自然”內射型线性映射${\displaystyle V\rightarrow V^{**}}$ 。这些映射在以下意义上是“自然”的：二重对偶运算是一个函子，这些映射正好构成了从恒等函子到二重对偶函子的自然变换。如果向量空间的维数是有限的，我们就得到一个自然同构；因为“有限向量空间自然同构于其二重对偶”。

考虑阿贝尔群及其同态构成的范畴${\displaystyle \mathrm {Ab} }$。对任意阿贝尔群${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$和${\displaystyle Z}$，我们得到群同构

${\displaystyle \mathrm {Mor} \left(X,\mathrm {Mor} \left(Y,Z\right)\right)\rightarrow \mathrm {Mor} \left(X\otimes Y,Z\right)}$ 。

这些同构是“自然”的，因为它们定义了两个函子间的一种自然变换：${\displaystyle \mathrm {Ab} ^{op}\times \mathrm {Ab} ^{op}\times \mathrm {Ab} \rightarrow \mathrm {Ab} }$。

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