正二十四胞体

正二十四胞体由24个正八面体胞组成，于每顶点有八个相接。正二十四胞体共有96个三角形面、96条边，24个顶点，其頂點圖是立方体。正二十四胞体是自身对偶。对于边长为a的正二十四胞体，其超体积是2a⁴，表体积是8√2a³。

若一个正二十四胞体的棱长为1，则其外接超球的半径为1,其外中交超球（经过正二十四胞体每条棱的中点的三维超球）半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0.866025403}$，其内中交超球（经过正二十四胞体每个面的中心）半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 0.81649658}$,其内切超球半径为${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707106781}$。

考克斯特F₄群平面下的投影，展现了正二十四胞体(红点)和它的对偶(黄点)。

如果把正二十四胞体的24个顶点看作位置向量的话，它们能构成一个简单李群D₄，这二十四个顶点处于3个互相平行的超平面之上，2对6个顶点分别处于外侧的两个超平面上，构成两个正八面体（就是两个胞），其余12个顶点处于中间的超平面之上，构成截半立方体。而这24个顶点又可拆分成超立方体的16个顶点和正十六胞体的8个顶点，应此作为截半正十六胞体和双棱锥正二十四胞体（截半正十六胞体的对偶），正二十四胞体也具有BC₄对称性。正二十四胞体和它的对偶正二十四胞体的共48个顶点（的位置向量）构成了F₄对称群，它包含了两个D₄对称群，大小是后者的√2倍。正二十四胞体的全部对称性构成了外尔群F₄，由与F₄的根正交的超平面反射构成，它是一个群阶为1152的旋转反射群。正二十四胞体的纯旋转群群阶为576。如果把正二十四胞体的顶点看作是四元数，由于单位四元数乘除等同于旋转，能够构造出一个等同于只有旋转的外尔群F₄的乘法群。其它正多胞形，如正十六胞体和正六百胞体也有该性质。

• 正二十四胞体动画
• 正二十四胞体的球极平面投影 （页面存档备份，存于）
• 正二十四胞体的图和描述
• Regular Convex Four-Dimensional Polytopes 提供了正二十四胞体部分的几何数据