無限面體
無限面體（英語：），是多面體的一種，意指有無限個面、無限條邊和無限個頂點的多面體。一般是指所有的平面密鋪的集合。
 正方形鑲嵌，是無限面體的一個例子 | |
| 類別 | 多面體 平面鑲嵌 |
|---|---|
| 對偶多面體 | 仍為無限面體 但可能有不同幾何結構 |
| 數學表示法 | |
| 考克斯特符號 | 三種正無限面體    （三角形鑲嵌） （正方形鑲嵌）（六邊形鑲嵌） |
| 施萊夫利符號 | {p,q} 其中(p-2)(q-2) = 4 |
| 性質 | |
| 面 | ∞ |
| 邊 | ∞ |
| 頂點 | ∞ |
| 歐拉特徵數 | F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2) |
| 二面角 | 180° |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | 依其幾何結構而定 |
| 特性 | |
| 非嚴格凸、 球內接多面體、 等邊多面體、 等角多面體、 平面 | |
在歐幾里得幾何中，無限面體是一個退化多面體，其面數是可數集的數量，其邊數與頂點數將符合V-E+F= 2，但只能利用求極限得出。無限面體跟多面體一樣，有面、邊、頂點、和角，角也包含有二面角，只是他們全部共面。無限面體並不是球，因為在多面體的定義中，面不能為曲面、邊不能為曲線。
無限面體為無限邊形在三維空間的類比，與平面鑲嵌是等價的。無限面體可以密鋪空間，如同無限邊形密鋪平面，兩個無限面體面體即可堆砌填滿整個空間，這種幾何結構稱為二階無限面體堆砌。
一般對兩種主要無限面體類型有研究：
- 平面密鋪或鑲嵌
- 扭歪無限面體。
正無限面體
正無限面體是正多面體的一種，是指每個面都全等、每條邊都等長、每個角都等角的無限面體，就如同一般的正多面體。其二面角為180度，為一平角。
滿足這些條件的幾何圖形只有平面鑲嵌，在施萊夫利符號中用{p,q}表示，其中p、q滿足等式(p-2)(q-2) = 4。
| 图像 |  三角形鑲嵌 |
 正方形鑲嵌 |
 六邊形鑲嵌 |
|---|---|---|---|
| 施萊夫利符號 | {3,6} | {4,4} | {6,3} |
無限胞體
無限胞體（英語：）意指有無限個面、無限個胞、無限條邊和無限個頂點的多胞體。
其性質皆與無限面體相似，由空間密鋪即空間堆砌組成。四维空間的正無限胞體只有一種，即立方體堆砌[1]。
| 維度 | 三維 退化四維 |
四維 退化五維 | |
|---|---|---|---|
| 图像 |  立方體堆砌 |
 超立方體堆砌 |
 十六胞體堆砌 |
| 施萊夫利符號 | {4,3,4} | {4,3,3,4} | {3,3,4,3} |
扭歪無限面體
一個扭歪無限面體的例子
扭歪無限面體也是一種無限面體，其與一般無限面體差異在於扭歪無限面體並非所有頂點都共面，可以視為無限邊形與扭歪無限邊形之差異在三維空間的類比。
所有面都全等、角也相等的扭歪無限面體為正扭歪無限面體。三維空間的正扭歪無限面體有三種：
| 圖像 |  四角六片四角孔扭歪無限面體 |
 六角四片四角孔扭歪無限面體 |
 六角六片三角孔扭歪無限面體 |
|---|---|---|---|
| 施萊夫利符號 | {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
雙曲空間
此外，由於雙曲鑲嵌也是由無限多個雙曲平面構成的圖形，因此雙曲鑲嵌也可以做為一種無限面體[2]。
| 圖像 |  七階三角形鑲嵌 |
 五階正方形鑲嵌 |
 四階五邊形鑲嵌 |
 四階六邊形鑲嵌 |
 七邊形鑲嵌 |
|---|---|---|---|---|---|
| 施萊夫利符號 | {3,7} | {4,5} | {5,4} | {6,4} | {7,3} |
參考文獻
- Coxeter, H. S. M. 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
- Williams, Robert. . Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
- Critchlow, K.: Order in space.
- Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. （页面存档备份，存于） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.
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