秩 (线性代数)

设 ${\displaystyle A}$ 为 ${\displaystyle m\times n}$ 矩阵。若 ${\displaystyle A}$ 至少有一个 ${\displaystyle r}$ 阶非零子式，而其所有 ${\displaystyle r+1}$ 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为r。则称 ${\displaystyle r}$ 为 ${\displaystyle A}$ 的秩。

对于 ${\displaystyle m}$ 维线性空间 ${\displaystyle V}$ 中的一个向量组 ${\displaystyle F=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}}$，若 ${\displaystyle F\supseteq S=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}}$ 中的 ${\displaystyle r}$ 个向量线性无关，且若 ${\displaystyle r<s}$，${\displaystyle \forall \alpha _{r+1}\in F-S}$，${\displaystyle S\cup \{\alpha _{r+1}\}}$ 中 ${\displaystyle r+1}$ 个向量都线性相关，则称 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}}$ 为 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}}$ 的极大线性无关组，${\displaystyle r}$ 为 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}}$ 的秩。可以证明 ${\displaystyle F}$ 的秩等于向量组 ${\displaystyle F}$ 生成的子空间的维数。 矩阵 ${\displaystyle A}$ 的列秩定义为 ${\displaystyle A}$ 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为 ${\displaystyle A}$ 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

考虑线性映射：

${\displaystyle f_{A}:F^{n}\to F^{m}}$

${\displaystyle x\mapsto A\cdot x}$

对于每个矩阵 ${\displaystyle A}$，${\displaystyle f_{A}}$ 都是一个线性映射，同时，对每个 ${\displaystyle F^{n}\to F^{m}}$ 的 线性映射 ${\displaystyle f}$，都存在矩阵 ${\displaystyle A}$使得 ${\displaystyle f=f_{A}}$。也就是说，映射

${\displaystyle \Phi$ :{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )\to {\mathcal {L}}(F^{n},F^{m})}

${\displaystyle A\mapsto f_{A}}$

是一个同构映射。所以一个矩阵 ${\displaystyle A}$ 的秩还可定义为 ${\displaystyle f_{A}}$ 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 ${\displaystyle A}$ 称为 ${\displaystyle f_{A}}$ 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 ${\displaystyle n-f}$ 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 ${\displaystyle f}$ 的像的维度。

令 ${\displaystyle A}$ 是一个 ${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵，其列秩为 ${\displaystyle r}$ . 因此矩阵 ${\displaystyle A}$ 的列空间的维度是 ${\displaystyle r}$ . 令 ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的列空间的一组基，构成 ${\displaystyle m\times r}$ 矩阵 ${\displaystyle C}$的列向量 ${\displaystyle C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}]}$，并使得 ${\displaystyle A}$ 的每个列向量是 ${\displaystyle C}$的${\displaystyle r}$ 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个 ${\displaystyle r\times n}$ 矩阵 ${\displaystyle R}$, 使得 ${\displaystyle A=CR}$. (${\displaystyle A}$ 的 ${\displaystyle (i,j)}$ 元素是 ${\displaystyle c_{i}}$ 与 ${\displaystyle R}$ 的第 ${\displaystyle j}$ 个行向量的点积.)

现在，由于 ${\displaystyle A=CR}$, ${\displaystyle A}$ 的每个行向量是 ${\displaystyle R}$ 的行向量的线性组合，这意味着 ${\displaystyle A}$ 的行向量空间被包含于 ${\displaystyle R}$ 的行向量空间之中. 因此 ${\displaystyle A}$ 的行秩 ≤ ${\displaystyle R}$的行秩. 但${\displaystyle R}$仅有${\displaystyle r}$行, 所以${\displaystyle R}$的行秩 ≤ ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle A}$的列秩. 这就证明了${\displaystyle A}$的行秩 ≤ ${\displaystyle A}$的列秩.

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证${\displaystyle A}$的列秩 ≤ ${\displaystyle A}$的行秩。更简单的方法是考虑${\displaystyle A}$的转置矩阵${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$，则${\displaystyle A}$的列秩 = ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$的行秩 ≤ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$的列秩 = ${\displaystyle A}$的行秩. 这证明了${\displaystyle A}$的列秩等于${\displaystyle A}$的行秩. 证毕.

令${\displaystyle A}$是${\displaystyle m\times n}$矩阵，其行秩是${\displaystyle r}$. 因此${\displaystyle A}$的行向量空间的维度是${\displaystyle r}$，设${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}}$是${\displaystyle A}$的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集${\displaystyle Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}}$是线性独立的。 这是因为对一组标量系数${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}}$，如果:

${\displaystyle c_{1}Ax_{1}+c_{2}Ax_{2}+\cdots c_{r}Ax_{r}=A(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{r}x_{r})=Av=0,}$

其中${\displaystyle v=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}}$. 则可以推出有两个事实: (a) ${\displaystyle v}$是${\displaystyle A}$行向量空间的线性组合, 即${\displaystyle v}$属于${\displaystyle A}$的行向量空间；(b) 由于${\displaystyle Av}$ = 0, ${\displaystyle v}$正交于${\displaystyle A}$的所有行向量，从而正交于${\displaystyle A}$的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则${\displaystyle v}$正交于自身，这意味着${\displaystyle v}$ = 0. 由${\displaystyle v}$的定义:

${\displaystyle c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}=0.}$

再由${\displaystyle x_{i}}$是${\displaystyle A}$的行向量空间的一组线性独立的基，可知${\displaystyle c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{r}=0}$. ${\displaystyle Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}}$因而是线性独立的.

${\displaystyle Ax_{i}}$是${\displaystyle A}$的列空间中的向量. 因此${\displaystyle Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}}$是${\displaystyle A}$的列空间中${\displaystyle r}$个线性独立的向量. 所以${\displaystyle A}$的列向量空间的维数(${\displaystyle A}$的列秩)必然不小于${\displaystyle r}$. 这证明了${\displaystyle A}$的行秩r ≤ ${\displaystyle A}$的列秩. 把这一结果应用于${\displaystyle A}$的转置矩阵可以得到: ${\displaystyle A}$的列秩 = ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$的行秩 ≤ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$列秩 = ${\displaystyle A}$的行秩. 这证明了${\displaystyle A}$的列秩等于${\displaystyle A}$的行秩，证毕.

最后, 还可以证明rk(A) = rk(A^*), 其中A^*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(A^T). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A^*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.

令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A^*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A^*Ax = 0当且仅当Ax = 0.

A^*Ax = 0 ⇒ x^*A^*Ax = 0 ⇒ (Ax)^*(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖² = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A^*A的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A^*A). A^*A的每一个列向量是A^*的列向量的线性组合. 所以A^*A的列空间是A^*的列空间的子空间. 从而rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 即: rk(A) = rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 应用这一结果于A^*可获得不等式: 由于(A^*)^* = A, 可写作rk(A^*) ≤ rk((A^*)^*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A^*). 证毕.

将${\displaystyle m}$个${\displaystyle n}$维列向量排列成${\displaystyle n\times m}$的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

${\displaystyle r(A)<m}$

如果

${\displaystyle r(A)=m}$

则向量组线性无关。另外，不存在

${\displaystyle r(A)>m}$

特殊的，若向量的个数${\displaystyle m}$大于向量的维数${\displaystyle n}$，则根据：

${\displaystyle r(A)\leq n<m}$

这个向量组必然线性相关。