黎曼猜想

其中一個命題牽涉了默比烏斯函數${\displaystyle \mu }$。命題「等式

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

在${\displaystyle s}$的實部大於${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$的時候成立，而且右邊項的和收斂」就等價於黎曼猜想。由此我們能夠總結出假如Mertens函數的定義為

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

那黎曼猜想就等價於對任何${\displaystyle \varepsilon >0}$都有

${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$，

這將會對於${\displaystyle M}$的增長給出了一個更緊的限制，因為即使沒有黎曼猜想我們也能得出

${\displaystyle M(x)\neq o(x^{\frac {1}{2}})}$

（關於這些符號的意思，見大O符號。）

黎曼猜想等價於一些除${\displaystyle \mu (n)}$以外一些積性函數增長率的猜想。例如，因數函數${\displaystyle \sigma (n)}$由下式給出：

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

那在${\displaystyle n>5040}$的時候，

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\ln \ln n}$，

這名為Robin定理並在1984年以Guy Robin命名。另一個有關的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他證明了黎曼猜想等價於命題「對於任意自然數${\displaystyle n}$，

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}$

而${\displaystyle H_{n}}$為第${\displaystyle n}$個调和数${\displaystyle H_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}$。

里斯判準由里斯在1916年給出[3]，它斷言黎曼猜想等價於下式對所有${\displaystyle \epsilon >0}$成立

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\,\zeta (2k)}}=O\left(x^{1/4+\epsilon }\right)}$

哈代稍後於1918年以波萊爾求和法及梅林變換證明了下式的積分表法。

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\,\zeta (2k)}}=f(x)}$

其它相關的積性函數的增長率也具有與黎曼猜想等價的表述。

考慮二項式係數和

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{k \choose j}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$，

Báez-Duarte[4][5]與Flajolet、Brigitte Vallée[6]證明了黎曼猜想等價於對所有的${\displaystyle \epsilon >0}$下式成立

${\displaystyle c_{k}\ll k^{-3/4+\epsilon }}$。

類似的還有以下級數

${\displaystyle d_{k}=\sum _{j=2}^{k}(-1)^{j}{k \choose j}{\frac {1}{\zeta (j)}}}$。

對此。Flajolet與Vepstas[7]證明了黎曼猜想等價於對所有的${\displaystyle \epsilon >0}$下式成立

${\displaystyle |d_{n}|<C_{\epsilon }n^{1/2+\epsilon }}$

其中的${\displaystyle C_{\epsilon }}$是依賴於${\displaystyle \epsilon }$的某個常數。

韋伊判準斷言某些函數的正定性等價於廣義黎曼猜想。與此相似的還有李判準，這斷言某些數列的正性等價於黎曼猜想。

另外兩個跟黎曼猜想等價的命題牽涉了法里數列。假如${\displaystyle F_{n}}$是法里數列中的第${\displaystyle n}$項，由${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$開始而終於${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$，那命題「給出任何${\displaystyle e>{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-i/m|=O(n^{e})}$

」等價於黎曼猜想。在這裏${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)}$是法里數列中${\displaystyle n}$階項的數目。類似地等價於黎曼猜想的命題是「給出任何${\displaystyle e>-1}$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(F_{n}(i)-i/m)^{2}=O(n^{e})}$」

黎曼猜想等價於群論中的一些猜想。舉例說，${\displaystyle g(n)}$，是對稱群${\displaystyle S_{n}}$的所有元素的秩之中，最大的一個，也就是蘭道函數，則黎曼猜想等價於：對夠大的${\displaystyle n}$，下式成立：

${\displaystyle \ln g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$。

黎曼猜想等價於命題「${\displaystyle \zeta (s)}$的導函數${\displaystyle \zeta '(s)}$在區域

${\displaystyle 0<{\text{Re}}(s)<{\frac {1}{2}}}$

上無零點。」 函數ζ在臨界線上只有單零點的充要條件是其導函數在臨界線上非零。所以若黎曼猜想成立，命題中的非零區域可以延伸為${\displaystyle 0<{\text{Re}}(s)\leq {\frac {1}{2}}}$。這條進路帶來了一些成果。Norman Levinson將此條件加細，從而得到了較強的臨界線定理。

黎曼猜想有各種比較弱的結果；其中一個是由芬蘭數學家恩斯特·列奧納德·林德勒夫（Ernst Leonard Lindelöf）所提出，關於ζ函數於臨界線上的增長速度的猜想，表明了給出任意的${\displaystyle e>0}$，當${\displaystyle t}$趨向無限，

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{e})}$。

記第${\displaystyle n}$個素數為${\displaystyle p_{n}}$，一個由英國數學家阿爾伯特·英厄姆(Albert Ingham)得出的結果顯示，林德勒夫猜想將推導出「給出任意${\displaystyle e>0}$，對足夠大的${\displaystyle n}$有

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<p_{n}^{{\frac {1}{2}}+e}}$」

不過這個結果比大素數間隙猜想弱，詳如下述。

另一個猜想是大質數間隙猜想。哈拉爾德·克拉梅爾證明了：假設黎曼猜想成立，質數${\displaystyle p}$與其後繼者之間的間隙將會為${\displaystyle O({\sqrt {p}}\ln p)}$。平均來說，該間隙的階僅為${\displaystyle O(\ln p)}$，而根據數值計算結果，它的增長率並不似黎曼猜想所預測的那麼大。

由於黎曼猜想是有關二維變量（臨界線（critical line）上的虛數解和黎曼ζ函數中的自然數變量${\displaystyle n}$）的問題，故不但要考慮在二維變量下的情況，似乎還可以從更高維數（例如三或四維甚至更高維）變量的情況下來考慮問題。

另外，由於黎曼猜想從本質上來說是證明一個方程的非平凡的複數解必然是${\displaystyle {\frac {1}{2}}+b\mathbf {i} }$的形式（${\displaystyle b}$是實數，${\displaystyle \mathbf {i} }$是虛數單位），因此應該與代數學是密不可分的；就是說，代數幾何、代數數論甚至代數拓撲等學科的知識是不可缺少的。如果能從上述幾個分支學科之間找到新的聯繫，以及對這些分支學科有進一步的新發現，那可能可以爲證明黎曼猜想打下基礎，或爲黎曼猜想的證明做好準備。

長久以來，人們猜測黎曼猜想的「正解」是找到一個適當的自伴算符，再由實特徵值的判準導出${\displaystyle \zeta (s)}$零點實部的資訊。在此方向上已有許多工作，卻仍未有決定性的進展。

黎曼ζ函數的統計學性質與隨機矩陣的特徵值有許多相似處。這為希爾伯特-波利亞猜想提供了一些支持。

在1999年，Michael Berry與Jon Keating猜想經典哈密頓函數${\displaystyle H=xp}$有某個未知的量子化${\displaystyle {\hat {H}}}$，使得下式成立

${\displaystyle \zeta (1/2+\mathbf {i} {\hat {H}})=0}$

更奇特的是，黎曼ζ函數的零點與算子${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$的譜相同。正則量子化的情形則相反：正則量子化引致海森堡測不準原理${\displaystyle [x,p]=1/2}$，並使量子諧振子的譜為自然數。重點在於，所求的哈密頓算符應當是個閉自伴算符，方能滿足希爾伯特-波利亞猜想之要求。

引用来源

• Bollobas, Bela, foreword to Littlewood's Miscellany, Cambridge University Press, 1986

歷史文獻

• Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin Société Mathématique de France 14 (1896) pp. 199–220.

現代技術參考

• H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974. (Reprinted by Dover Publications, 2001 ISBN 0-486-41740-9)
• E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986
• Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly (2002), no. 109, 534--543（論及與和諧數的關聯）
• Computation of zeros of the Zeta function（页面存档备份，存于） (2004).（關於GUE猜想的評論，兼具豐富的書目資料。）
• Schoenfeld, Lowell. "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II." Mathematics of Computation 30 (1976), no. 134, 337–360.
• Conrey, J. Brian. "the Riemann Hypothesis" Notices of the American Mathematical Society, March 2003, 341–353.可自由下載（页面存档备份，存于）。

受歡迎的參考資料

• Clay Mathematics Institute, Millennium Problems（页面存档备份，存于）, (2000)
• Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, HarperCollins, 2003
• Marcus du Sautoy, "Prime Numbers Get Hitched", Seed Magazine（页面存档备份，存于）" (03/27/2006)
• Daniel Rockmore, Stalking the Riemann Hypothesis : The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, Pantheon Books, New York, 2005. ISBN 0-375-42136-X.
• John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics（页面存档备份，存于）, Joseph Henry Press (April 23, 2003), ISBN 0-309-08549-7. 448 pages.
• Zetagrid（页面存档备份，存于） (2002)試圖否證黎曼猜想的分散式計算計畫，已於2005年11月終止.
• Ed Pegg, Jr., Ten Trillion Zeta Zeros（页面存档备份，存于）, (2004) 討論Xavier Gourdon對前十兆個非平凡零點的計算.
• de Vries, The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)（页面存档备份，存于） (2004).
• Erica Klarreich, "Prime Time", New Scientist - November 11, 2000, p. 32. 對黎曼猜想的簡介.
• QEDen A wiki dedicated to solving the millennium problems（页面存档备份，存于）