如何做二进制数的除法运算

共同创作者是 Grace Imson, MA

二进制除法问题可以使用长除法来解，无论是自学这类问题的解法，还是写一个简单的计算机程序，长除法都非常实用。另外，多次相减补数法也可以用来解二进制除法问题，但你可能不太熟悉，它在编程中的使用频率也不如长除法。^{[1]
X
研究来源}机器语言通常使用估计算法来提高效率，但这不在本文的论述范围以内。^{[2]
X
研究来源}

方法 1

方法 1 的 2:

使用长除法

1
回顾十进制的长除法。十进制是以10为基数的数制，我们日常使用的数字都是十进制数字。如果你已经很久没有做过长除法，不妨利用算题172 ÷ 4来复习一下。如果你对这部分的内容十分熟悉，请直接跳到下一步，学习二进制的长除法。
- 被除数除以除数，所得结果为商。
- 比较除数和被除数的首位数。如果除数比较大，就继续将下一位数加到被除数中，直至被除数大于除数。例如，用172 ÷ 4时，我们会比较4和1，发现4 > 1后，就比较4和17。
- 在比较的被除数的最后一位上写下商的首位数。比较4和17，我们发现17整除4得4，因此，我们将商的首位数4写到7的上面。
- 相乘和相减后得到余数。用商的位值乘以除数，本题中即4 x 4 = 16。在17下面写16，然后用17 - 16，得到余数1。
- 重复。再次将除数4与余数1比较，发现4 > 1，“结合”被除数的下一位数，然后比较4和12。12是4的三倍，而且没有余数，所以将3写作商的下一位数。答案是43。
以10101 ÷ 11为例。将问题写成长除法形式，以10101为被除数，11为除数。在上面留出空处写商，下面写下计算过程。
3
比较除数和被除数的首位数。二进制长除法的解题方法与十进制长除法一样，但实际上前者要简单得多。整除被除数时，每一位的结果要么等于0，要么等于1：
- 11 > 1，所以1“无法”整除11。在商的第一位，也就是被除数首位数字的上方，写一个0。
4
继续加入下一位数，直到结果为1。以下是例题后面的计算步骤：
- 结合被除数的下一位数。11 > 10。在商的位置再写一个0。
- 结合下一位数。11 < 101。在商的位置再写一个1。
5
计算余数。和十进制的长除法一样，我们用刚刚算出的1乘以除数11，然后将结果与刚才计算中被除的几位数对齐，写到被除数下面。在二进制中，由于1乘以除数总是等于除数，我们可以将之简化：
- 在被除数下面写下除数。这里，我们将11与被除数的前三位数101对齐，写到它的下面。
- 计算101 - 11，得到余数10。如果需要复习二进制数的减法运算，可以参阅本网站的相关文章。
6
重复这一步骤，直至问题解决。将被除数的下一位数与余数结合，得到100。由于11 < 100，所以在商的下一位数写1。使用之前的方法，继续计算：
- 在100下面写11，相减得到1。
- 结合被除数的最后一位数，得到11。
- 11 = 11，所以商或答案的最后一位数写1。
- 没有余数，因此问题得到解决。答案是00111，或者简化成111。
7
如有必要，添加小数点。有时，结果不是整数。如果使用最后一位数后仍有余数，就在被除数后面加”.0”，在商里面加”.”，这样，你可以再次结合下一位数，并继续计算。重复这一步骤，直至答案足够精确，然后四舍五入。在纸上计算时，你可以去掉最后一位数的0，取整，如果最后一位数是1，就去掉这个1，然后在新的最后一位数字上加1。在编程中，请遵循某种四舍五入的标准算法，以避免在二进制数和十进制数之间转换时出错。^{[3]
X
研究来源}
- 二进制除法的结果通常包含循环小数，这种情况比十进制数制多。^{[4]
  X
  研究来源}
- 由于“小数点”（decimal point）只用于十进制，所以在任何其他数制中，我们会使用更通用的术语“小数点”（radix point）。^{[5]
  X
  研究来源}
广告

方法 2

方法 2 的 2:

使用补数法

1
理解基本概念。在任何数制中，解除法问题时，我们都可以用被除数减去除数，然后用余数减去除数，同时计算在得到负数之前相减的次数。我们以十进制的除法问题26 ÷ 7为例：
- 26 - 7 = 19 (减1次)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2。得到负数，所以回到上一步。答案是3，余数为5。注意，这种方法无法计算答案的非整数部分。
2
学习用补数法做减法。虽然你可以很方便地在二进制中使用上述方法，但做减法时，我们可以使用效率更高的方法，从而省下编程计算机来计算二进制数字除法的时间。这种方法就是二进制的补数减法。我们举一个简单的例子，计算111 - 011，计算前请确保两个数字的长度相同：
- 将第二项的每一位数字减1，计算一补数。在二进制中，我们可以把1变成0，把0变成1，非常方便地完成这一步。^{[6]
  X
  研究来源}^{[7]
  X
  研究来源}本例题中，011变成了100。
- 用结果加一：100 + 1 = 101。它被称为二补数，让我们像做加法一样去解减法问题。^{[8]
  X
  研究来源}从本质上讲，这种方法是加一个负数，而不是减一个正数。
- 将结果与第一项相加。写下问题的解：111 + 101 = 1100。
- 去掉进位数。去掉答案的第一位数，得到最终结果。1100 → 100。
3
结合以上两个概念。现在你知道了解除法问题的减法方法，以及解减法问题的二补数方法。使用以下步骤，你可以将它们结合成一种方法，来解除法问题。^{[9]
X
研究来源}如果愿意，在继续浏览前你可以试着自己思考一下。
4
通过加二补数，用被除数减去除数。以100011 ÷ 000101为例。第一步是计算100011 - 000101，我们可以使用二补数方法，将它变成一个加法问题：
- 000101的二补数 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- 去掉进位数 → 011110
在计算机程序中，这时会为商加一。纸上计算时，在某个角落做个记号，避免与其他计算工作混淆。我们已经成功地减了一次，所以目前为止，商是1。
6
继续用余数减去除数。上次计算的结果是“减去”一次除数后剩下的余数。每次继续加上除数的二补数并去掉进位数。每减一次，为商加一，直至余数小于等于除数。^{[10]
X
研究来源}
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (商 1+1=10)
- 011001 + 111011 = 1010100 → 010100 (商 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0小于101，所以我们就此打住。商 111是这道除法题的答案。余数是减法最后所得的结果，在本题中，等于0，即没有余数。
广告