如何计算三角形面积

共同创作者是 David Jia

我们通常用三角形的底边长乘以高，再除以2，来计算三角形的面积。但是实际上，还有很多方法可以算三角形面积。你可以根据已知的信息，选择不同的公式来计算三角形面积。如果你知道边长和夹角度数时，可以利用这些数据，在不知道高的情况下算出三角形的面积。

方法 1

方法 1 的 4:

使用底和高进行计算

1
找出三角形底和高的长度。三角形的“底”就是它的其中一条边，通常指位于底部的侧边。“高”是指从底边到三角形顶部最高点的长度。当你从三角形的底边向对面顶点作垂线，画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的，或是可以通过测量得到的。
- 例如，有一个三角形，经测量得到底边长5厘米，高3厘米。
面积公式是： ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ，这里的 $b$ 是三角形的底边长， $h$ 是三角形的高。^{[1]
X
研究来源}
3
将底边长和高带入公式。将两个数值相乘，然后用得到的结果乘以 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ ，就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 例如，如果三角形的底边长为5 cm，高为3 cm，那么带入公式得到：
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{面积}}=7.5$
  因此，一个底边长为5厘米、高为3厘米的三角形的面积为7.5平方厘米。
4
求直角三角形的面积。由于直角三角形的两条边是相互垂直的，因此，一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高，另一条边就是底边。因此，就算没有明确给出底边长和高，但如果已知两条直角边长，就相当于知道底边长和高了。接着，就可以用公式 ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$ 来计算三角形面积了。
- 如果你已知一条直角边和斜边的长度，也可以用这个面积公式来求面积。斜边是直角三角形中最长的一个边，正对着直角夹角。如果已知斜边长和一条直角边的边长，可以通过勾股定理（ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ）算出另一条直角边的边长。
- 例如，如果三角形的斜边为c，高和底就是另外两条直角边a和b。如果已知斜边c边长为5 cm，一条直角边（底边）长为4 cm，用勾股定理求出高：
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  此时，再把两个直角边长（a和b）当做底边和高带入面积公式：
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{面积}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{面积}}=6$
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方法 2

方法 2 的 4:

使用边长进行计算

1
计算三角形的半周长。半周长等于图形周长的一般。想算出三角形的半周长，需要先将三角形的三条边长加起来求出周长，然后乘以 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ 。^{[2]
X
研究来源}
- 例如，如果三角形的三边长为5 cm、4 cm和3 cm，那么半周长就是：
  $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
海伦公式是： ${\text{面积}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ，其中 $s$ 是三角形的半周长， $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是三角形三条边的长度。^{[3]
X
研究来源}
3
将半周长和边长带入公式。确保把半周长带入公式中的每个 $s$ $s$ ，进行计算。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4
计算括号中的值。用半周长减去每一个边长，然后将三个结果相乘。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6)}}$
5
将根号下的两个数值相乘。然后，求平方根。这样就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 例如：
  ${\text{面积}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{面积}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{面积}}=6$
  因此，例子中三角形的面积是6平方厘米。
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方法 3

方法 3 的 4:

使用等边三角的边长进行计算

1
求三角形一条边的边长。等边三角形是三条边边长相等、三个角角度相同的三角形，所以如果你知道了一条边的边长，就相当于知道了所有边的边长。^{[4]
X
研究来源}
- 比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米。
面积公式是 ${\text{面积}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ ，其中 $s$ 是等边三角形的边长。^{[5]
X
研究来源}
3
将边长的数值代入到公式中。确保是将公式中的每个变量 $s$ $s$ 都替代成具体的数值，然后求出它的平方。
- 比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米，计算过程如下：
  ${\text{面积}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4
用边长的平方乘以 ${\sqrt {3}}$ 。为了得到更准确的结果，你可以使用计算器的平方根函数进行计算。或者，你可以用 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ 的近似值1.732来代替根号3进行计算。
- 比如：
  ${\text{面积}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{面积}}={\frac {62.352}{4}}$
5
将得出的结果除以4。最后得到的结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 比如：
  ${\text{面积}}={\frac {62.352}{4}}$
  ${\text{面积}}=15.588$
  所以，边长为6厘米的等边三角形的面积是15.59平方厘米。
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方法 4

方法 4 的 4:

使用三角函数进行计算

1
找到三角形两条邻边的边长和它们夹角的度数。邻边是三角形中具有共同顶点的两条边。^{[6]
X
研究来源}夹角就是这两条邻边所夹的角。
- 比如，两条邻边的长度分别是150厘米和231厘米，夹角为123度。
公式为 ${\text{面积}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ ，其中 $b$ 和 $c$ 是三角形邻边的边长， $A$ 是它们所夹夹角的度数。^{[7]
X
研究来源}
3
将边长代入到公式中。确保用已知边长的数值替代对应的 $b$ $b$ 和 $c$ $c$ 变量。然后将两者相乘，再除以2。
- 比如：
  ${\text{面积}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
  ${\text{面积}}=17,325\sin A$
4
将角的正弦值代入到公式中。你可以在科学计算器中输入角的度数，然后按下“SIN”按钮，得到它的正弦值。
- 比如，123度的正弦值是0.83867，所以公式如下：
  ${\text{面积}}=17,325\sin A$
  ${\text{面积}}=17,325(.83867)$
5
将两个结果相乘。最终结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。
- 比如：
  ${\text{面积}}=17,325(.83867)$
  ${\text{面积}}=14,529.96$
  所以，三角形的面积是14,530平方厘米。
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小提示

如果你不是很理解三角形面积公式的推算过程（或计算原理），那么这里有一个简单的解释，能帮助你的理解。如果你画一个跟原三角形一模一样的三角形，并把两个三角形拼在一起，就会形成一个矩形（两个直角三角形拼在一起），或平行四边形（非直角三角形）。如果要计算矩形或平行四边形的面积，你需要用底边长乘以高。由于矩形或平行四边形等于两个三角形大小，所以三角形的面积就是底乘以高，然后再除以2。