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两个数的最大公约数,也叫最大公因数,或最高公因数,是最大的能整除两个整数的数,比如20和16最大公因数是4(20和16都有更大的因数,但不是公因数了,比如8是16的因数,却不是20的因数)。 学校中很多老师教的是“猜后验证”法找最大公因数,但是其实有更简单更系统的方法来准确找到最大公因数。本方法叫“欧几里德算法”。 设两数为'a'、 'b'
步骤
方法 1
方法 1 的 2:
使用除数算法
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去掉负号。
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了解相关词汇(32除以5):
- 32 是被除数
- 5 是除数
- 6 是商
- 2 是余数(模数)
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找两个数较大的一个,作为被除数。小的数作为除数。
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写出公式 : (被除数) = (除数) * (商) + (余数)
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大的数作为被除数,小的作为除数。
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得出商。
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得出余数,写入公式。
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再写出公式,不过用上面的除数代替这里的被除数,上面的余数作为除数。
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一直重复步骤直到余数为零。
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最后一个除数,就是最大公因数了。
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这个例子中我们找出108和30的最大公因数:
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注意第一行30和18在第二行的位置,然后除数变被除数,余数变除数,以此类推。其中每一行的商都和其他的商意义不同,只隶属于这一行,对其他行没用。广告
小提示
- 另一种方式来写,就是被除数mod除数= 余数。余数为0则GCD(最大公因数)(a,b) = b, 其他情况下GCD(a,b) = GCD(b, a mod b)
- 比如找GCD(-77,91)。 先用77 替换 -77,GCD(-77,91) 变为 GCD(77,91) 。 77 小于91,因此换个位置。看看是否能用公式来算。下面因为77 mod 91得到77 (因为 77 = 91 x 0 + 77) ,我们要的不是0作为最大公因数,因此(a, b) 转换为 (b, a mod b)得到: GCD(77,91) = GCD(91,77)。 91 mod 77 得到 14 (这意味着14 是余数) ,因为不是0,就把GCD(91,77) 替换为GCD(77,14) 。 77 mod 14 得到7 也不是0,再把GCD(77,14) 换成 GCD(14,7)。 14 mod 7 得到0。因为 14 = 7 * 2 无余数,最大公因数: GCD(-77,91) = 7
- 若 'a' 、 'b' 都是0,则任何非零数都是他们的公因数,所以没有最大公因数。数学家一般就说最大公因数是0,这个就是本例中方法得到的。
- 可以用这种方法很有效地化简分数。比如上述例子,-77/91 化简为 -11/13 因为7是-77 、91的最大公因数。
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