如何求正多边形的面积

共同创作者是 David Jia

正多边形是指在二维平面内各边相等、每个角也相等的凸多边形。许多多边形，比如四边形或三角形，都有对应的简单公式来求解它们的面积。但是如果多边形的边数大于4，那么最好使用包含边心距和周长的公式来计算多边形的面积。稍作努力，你就能在短短几分钟内求出正多边形的面积。

部分 1

部分 1 的 2:

周长是指平面图形边缘一周的长度，也就是一个图形所有边长的和。对于正多边形来说，用边的数量（“n”）乘以一条边的长度，就能得出正多边形的周长。^{[1]
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求出边心距。正多边形的边心距就是从图形的中心点到一条边的最短距离，也就是从中心点向一条边作垂线，形成一个直角，这条垂线的长度就是边心距。边心距的计算比周长略微复杂一些。
- 计算边心距的公式是：先用180度除以边数（“n”），然后求出它的正切值，再用边长（“s”）除以两倍的正切值。
正多边形的面积：面积 = (a x p)/2, 其中a 是边心距的长度，p 是多边形的周长。
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将 a 和 p 的数值带入面积公式，就能计算出面积。例如：有一个正六边形，有6条边（“n”=6），边长（“s”）为10。
- 那么，这个正六边形的周长是6 x 10 （“n” x “s”），等于60（也就是“p” = 60）。
- 使用上述边心距的计算公式，将“n”=6、“s”=10带入公式。计算2tan（180/6）得到1.1547，然后再用10除以1.1547，得到8.66。
- 那么，多边形的“面积” = a x p / 2，也就是8.66乘以60再除以2。最后求出面积为259.8。
- 注意，“面积”公式里没有任何括号，所以，用8.66除以2再乘以60来计算也能得到相同的结果。用60除以2再乘以8.66来计算也是一样的，结果都相同。
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部分 2

部分 2 的 2:

多边形的边就是三角形的底边，正多边形有多少个边就意味着有多少个三角形，而且每个三角形的底边、高和面积也都完全相同。^{[2]
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三角形的面积等于三角形的底边长（也就是正多边形的边长）乘以三角形的高（也就是正多边形的边心距），再除以2。^{[3]
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正多边形的面积等于周长乘以边心距再除以2。其中，周长是边长乘以边数（“n”）。对于正多边形来说，“n”就代表了组成多边形的三角形的数量。那么，如果想用三角形面积来计算多边形面积的话，就是用三角形的面积乘以三角形的数量，即可求出正多边形的面积。^{[4]
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