如何计算梯形的周长

共同创作者是 Joseph Meyer

梯形是指只有一组对边平行的凸四边形。和其它多边形一样，计算梯形的周长时，你需要将所有边的边长（四个边长）相加，得到一个总和，这就是梯形的周长。然而很多时候，你可能不知道某些边的边长，而知道一些其它信息，比如梯形的高和夹角角度等。你可以利用这些已知的信息，通过几何学的定律和三角函数求出未知的边长。

方法 1

方法 1 的 3:

已知两条侧边长和上、下底边长

周长公式是 $P=T+B+L+R$ ，其中 $P$ 代表梯形的周长，变量 $T$ 是梯形上底边的边长，变量 $B$ 是梯形下底边的边长（在梯形中，平行的两条边是梯形的底边，短的一条是上底边，长的是下底边）。 $L$ 是梯形左侧的侧边长， $R$ 是梯形右侧的侧边长。以下公式里所有的P都代指周长，不再做中文注明。^{[1]
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研究来源}
2
将每条边的边长带入公式。如果你不知道梯形的其中一条边的边长，那么你将无法使用这个公式来求周长。
- 例如，有一个梯形，已知它的上底边边长为2厘米，下底边边长为3厘米，两个侧边都是1厘米。那么带入公式，可得出
  $P=2+3+1+1$ 。
3
将各边长相加，就能得到梯形的周长。
- 例如：
  $P=2+3+1+1$
  $P=7$
  因此，梯形的周长为7厘米。
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方法 2

方法 2 的 3:

已知梯形的高、两条侧边长和上底边边长

1
将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线，画出梯形的高。
- 如果只能画出一个直角三角形，而不是两个，这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形，它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
2
画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边，因此它们的长短相同。^{[2]
X
研究来源}
- 例如，如果梯形的高为6厘米，那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线，得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度，也就是6cm。
3
标出底边中央部分的长度，也就是分割得到的矩形的底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边，因此，它的长度等于梯形上底边（也是矩形的对边）的长度。^{[3]
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研究来源} 如果你不知道梯形上底边的长度，则无法使用这个方法进行计算。
- 例如，如果梯形的上底边长为6厘米，那么下底边中央部分的长度为6厘米。
勾股定理的公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，其中 $c$ 是直角三角形的斜边长（也就是正对着直角的一条边）， $a$ 是直角三角形的高， $b$ 是直角三角形的底边长。^{[4]
X
研究来源}
5
将第一个三角形里已知的信息、数据带入公式里。将梯形的侧边长带入公式里的 $c$ $c$ 。将梯形的高带入公式里的 $a$ $a$ 。
- 例如，如果你已知梯形的高为6厘米，一条侧边（直角三角形的斜边）长为9厘米，那么带入公式得：
  $6^{2}+b^{2}=9^{2}$ 。
6
计算等式里已知数值的平方。然后相减得到变量 $b$ $b$ 的平方。
- 例如，如果等式是 $6^{2}+b^{2}=9^{2}$ ，先计算6和9的平方，然后用9的平方减去6的平方：
  $6^{2}+b^{2}=9^{2}$
  $36+b^{2}=81$
  $b^{2}=45$
$Step 7 开方运算，得到 b {\displaystyle b} 的值。$

7
开方运算，得到 $b$ 的值。（如果你想要完整了解详细的化简平方根的方法，请查阅化简平方根。）这样，就能得到第一个三角形未知的那条边的边长。将结果标在三角形的底边上。
- 例如：
  $b^{2}=45$
  $b={\sqrt {45}}$
  $b={\sqrt {45}}$
  $b=3{\sqrt {5}}$
  因此，将 $3{\sqrt {5}}$ 标记在第一个三角形的底边上。
8
求出第二个直角三角形中未知长度的边长。写出勾股定理，并按照上面讲述的方法求出未知边的边长。如果是等腰梯形，那么梯形的两条不平行的侧边是一样长的。也就是说这两个三角形的斜边长是一样的。^{[5]
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研究来源} 这两个直角三角形能够完全重合在一起，所以你可以直接用第一个三角形的数据来代替第二个三角形的边长。
- 例如，如果梯形的另一条侧边长为7厘米，那么代入公式，可以得到：
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $6^{2}+b^{2}=7^{2}$
  $36+b^{2}=49$
  $b^{2}=13$
  $b={\sqrt {13}}$
  因此，将 ${\sqrt {13}}$ 标记在第二个三角形的底边上。
9
将梯形的所有边长相加。多边形的周长等于所有边长的总和： $P=T+B+L+R$ $P=T+B+L+R$ 。对于梯形的下底边，你需要将两个直角三角形的底边和矩形底边相加，得到的总和就是梯形的下底边长。最后的结果可能带着平方根。你可以查阅“平方根的加法运算”等文章，来详细学习如何计算平方根的加法。你也可以用计算器把平方根化成小数后，进行计算。
- 例如， $6+(6+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}})+9+7=28+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}}$
  将平方根换算成小数，得到 $6+(6+6.708+3.606)+9+7=38.314$
  因此，梯形的周长约为38.314厘米。
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方法 3

方法 3 的 3:

已知梯形的高、上底边长和底部内夹角角度

1
将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线，画出梯形的高。
- 如果只能画出一个直角三角形，而不是两个，这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形，它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
2
画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边，因此它们的长短相同。^{[6]
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研究来源}
- 例如，如果梯形的高为6厘米，那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线，得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度，也就是6 cm。
3
标出底边中央部分的长度，也就是分割得到的矩形底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边，因此，它的长度等于梯形上底边（也是矩形的对边）的长度。^{[7]
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研究来源}
- 例如，如果梯形的上底边长为6厘米，那么下底边中央部分的长度为6厘米。
4
写出第一个直角三角形的正弦函数公式。正弦函数公式是： $\sin \theta ={\frac {\text{对边}}{\text{斜边}}}$ $\sin \theta ={\frac {{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}}$ ，其中 $\theta$ $\theta$ 是三角形的一个内角，在我们的例子中，这个内角是斜边和底边形成的夹角。这里的 ${\text{对边}}$ ${\text{对边}}$ 是三角形的高， ${\text{斜边}}$ ${\text{斜边}}$ 是三角形斜边的长度。
- 用正弦函数公式能让你求出第一个三角形的斜边，也就是梯形的一条侧边。
- 斜边是正对着直角三角形里直角的那条边。
5
将已知的数值带入正弦函数公式。确保将三角形的高带入公式里的“对边”变量。这样能求出斜边长。
- 例如，如果已知底部内夹角为35度，三角形的高为6厘米，那么代入公式得到
  $\sin(35)={\frac {6}{H}}$ 。
6
求出夹角的正弦值。在科学计算器上按下“SIN”按钮，计算夹角正弦值。然后将数值带入上面的公式。
- 例如，用计算器计算35度的正弦值是0.5738（近似值）。所以，你的公式就变成了：
  $0.5738={\frac {6}{H}}$
7
求出斜边长H。要求出H，你需要在等式两边同时乘上H，然后同时除以夹角的正弦值。或者你可以直接使用三角形的高除以夹角的正弦值。
- 例如：
  $0.5738={\frac {6}{H}}$
  $0.5738H=6$
  ${\frac {.5738H}{.5738}}={\frac {6}{.5738}}$
  $H=10.4566$
  所以，弦的长度，也就是梯形的第一条未知边的边长就是10.4566厘米。
8
求出第二个直角三角中的弦长。对第二个已知的夹角列出正弦公式（ $\sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}$ $\sin \theta ={\frac {{\text{opposite}}}{{\text{hypotenuse}}}}$ ）。通过正弦公式，你可以求出弦的长度，也是梯形的一条斜边的长度。
- 例如，如果已知另一个夹角的度数是45度，计算如下：
  $\sin(45)={\frac {6}{H}}$
  $0.7071={\frac {6}{H}}$
  $0.7071H=6$
  ${\frac {.7071H}{.7071}}={\frac {6}{.7071}}$ $H=8.4854$
  所以，弦的长度，也就是梯形的第二条未知边的边长就是8.4854厘米。
勾股定理的公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，其中 $c$ 表示弦的长度， $a$ 表示高的长度。
10
将第一个三角形中已知的数值代入到公式中。确保将弦长代入到 $c$ $c$ 中，将高代入到 $a$ $a$ 中。
- 例如，如果第一个三角形的弦长是10.4566，高是6，你的公式就会变成：
  $6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}$
$Step 11 求出 b {\displaystyle b} 。$

11
求出 $b$ 。这样你就能得到第一个直角三角的底边边长，也就是梯形底边未知的第一部分的长度。
- 例如：
  $6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}$
  $36+b^{2}=109.3405$
  $b^{2}=109.3405-36$
  $b^{2}=73.3405$
  ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {73.3405}}$
  $b=8.5639$
  所以，三角形的底边边长，也就是也就是梯形底边未知的第一部分的长度是8.5639厘米。
12
求出第二个直角三角形的底边长度。同样时用勾股定理（ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ）进行计算。将弦长代入到 $c$ $c$ 中，将高代入到 $a$ $a$ 中。求出 $b$ $b$ ，也就得到了梯形底边未知的第二部分的长度。
- 例如，如果第二个直角三角形的弦长为8.4854，高为6，计算过程如下：
  $6^{2}+b^{2}=8.4854^{2}$
  $36+b^{2}=72$
  $b^{2}=72-36$
  $b^{2}=36$
  ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {36}}$
  $b=6$
  所以，第二个直角三角形的底边边长，也就是也就是梯形底边未知的第二部分的长度是6厘米。
13
将三部分长度相加。梯形的周长是所有边长之和： $P=T+B+L+R$ $P=T+B+L+R$ 。而要得到底边边长，你需要将矩形的底边长和两个三角形的底边长相加。
- 例如， $6+(8.5639+6+6)+10.4566+8.4854=45.5059$
  所以，梯形的周长为45.5059厘米。
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小提示

你可以利用特殊三角形的规律计算未知边的边长，不需要使用正弦公式或勾股定理。特殊规律适用于角度分别为30-60-90，^{[8]
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研究来源}或90-45-45的三角形。^{[9]
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研究来源}
使用科学计算器计算任意角的正弦值，只需要输入角的度数，然后按下“SIN”按钮。你也可以参照三角函数表，找到角的正弦值。^{[10]
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研究来源}