能量均分定理

一粒子質量為m，速度為v，其（牛頓力學）動能為：

${\displaystyle H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),}$

其中v_x、v_y及v_z是速度v的直角坐標的分量。這裏，H是哈密頓量，由於哈密頓表述是均分定理一般形式的中心，故下文將以其作為能量的符號。

由於能量是速度各分量的二次方，均分這三分量得每分量在熱平衡時向平均動能提供½k_BT。因此粒子的平均動能為(3/2)k_BT，跟上面惰性氣體的例子一樣。

更普遍地，理想氣體中的，總能量幾乎全為（平移）動能：假定粒子無內自由度且運動不受其他粒子影響。均分因此預測有N個粒子的理想氣體有平均總能量(3/2) N k_BT。

而氣體的熱容則為(3/2) N k_B，因此這樣一摩爾氣體的熱容為(3/2)N_Ak_B=(3/2)R，其中N_A是阿伏伽德罗常數，而R則是氣體常數。由於R ≈ 2 Cal/(mol·K)，均分預測理想氣體的摩爾比熱容約為3 Cal/(mol·K)。這個預測已被實驗證實[1]。

從平均動能可以求出氣體粒子的均方根速度v_rms：

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},}$

其中M = N_Am是一摩爾氣體粒子的質量。這個結果對很多應用方面都有用處，例如逸散用的格銳目定律為鈾濃縮提供了一個方法[2]。

在另一個相近的例子中，有一粒子其主轉動慣量I₁、I₂及I₃。它的旋轉能量是：

${\displaystyle H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}$

其中ω₁、ω₂及ω₃是角速度的主分量。使用跟平移同一套的論證，均分意味着每個粒子的平均旋轉能量為(3/2)K_BT。同樣地，均分使計算出分子均方根角速度成為可能[3]。

剛性粒子的滾翻——即是分子於溶液中的隨機旋轉——在核磁共振中觀測到弛緩中有着重要的角色，尤其是在蛋白質核磁共振及剩餘雙極耦合中[4]。旋轉滲透可被其他生物物理探測法所觀測到，例如是螢光異向性、流動雙折射及介電質光譜學[5]。

均分定理除可應用於動能外，還能被應用於勢能計算：重要例子包括像彈簧這樣的諧波振蕩器，其二次勢能為

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,}$

其中常數a描述彈簧的韌性，而q則是由平衡導出的。假若這樣一個系統的質量為m，那麼它的動能H^kin為½mv²=p²/2m，其中v及p=mv代表振蕩器的速度和動量。聯合這些項可得總能量[6]：

${\displaystyle H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.}$

因此均分定理預測在熱平衡時，振蕩器有平均能量

${\displaystyle \langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,}$

其中角括號${\displaystyle \left\langle \ldots \right\rangle }$代表括號內的平均量[7] 。

這個結果對任何種類的諧波振蕩器都是有效的，例如鐘擺，一個振動中的粒子或是被動的電子振蕩器。這樣的振蕩器在很多情況下都會出現；由均分可得，每個這樣的振蕩器都得到一個平均總能量k_BT並因此向系統熱容提供k_B。這個可以被用於導出熱雜音的公式[8] 及固體摩爾比熱容的杜隆-珀蒂定律公式。後者在均分定理的歷史中尤其重要。

圖三：原子可以在晶格下於平衡位置附近振動。這樣的振動佔了晶體介電質熱容的一大部分；對金屬而言，電子也對熱容有作用。

均分定理的一個重要應用是在於晶狀固體的比熱容。如此固體的每一個原子都能夠在三個獨立的方向下振蕩，因此該固體可以被視為一個擁有各自獨立的3N個簡諧振子的系統，其中N為晶格中的原子數。由於每一個諧振子都有平均能量k_BT，所以固體的平均總能量為3Nk_BT，而比熱容則為3Nk_B。如取N為阿伏伽德罗常數N_A，並使用R = N_Ak_B這個聯繫氣體常數R及波茲曼常數k_B的關係式，可得固體摩爾比熱容的杜隆-珀蒂定律的一個解釋，定律指出晶格中每摩爾的原子熱容為 3R ≈ 6 cal/(mol·K)。[9]

然而，由於量子效應的關係，這條定律在低溫時並不準確；這也不符合實驗導出的熱力學第三定律，第三定律指出摩爾比熱容於絕對零度時必為零[8]。艾爾伯特·愛因斯坦（1907年）及彼得·德拜（1911年）在基礎上加入了量子效應，發展出一套更準確的理論[10]。

固体中每个原子的振动不是独立的，可以用一組組的耦合振子作為模型。如此振蕩子的模型可以被分解成简振模，這跟鋼琴弦的振動模態及管風琴的共振模態是相近的。[11]另一方面，均分定理被應用於這種系統時一般都會失敗，因為正常模態間是沒有能量交換的。在一個非常的情況下，模態獨立且它們的能量獨立地守恒。這個顯示出有某種的能量混合，正式叫做遍歷性，對於均分定理的成立是十分重要的。[12]

勢能並不一定跟位置成二次關係的。不過，均分定理指出若能量对自由度x是s次齐次的（對一固定實數s而言），則該部份於熱平衡時的平均能量為k_BT/s。

在重力下澱積的這個延伸有一個簡單的應用。例如在啤酒裏有時見到的薄霧能由一團團會散射光的蛋白質所組成[13]。一段時間以後，這些蛋白質團因受重力影響而向下沉澱，使得近底下的部份比頂端的薄霧更多。不過，一個向相合方向作用的過程中，粒子也會向上滲透回到酒瓶的頂部。一達到平衡狀態時，就可以使用均分定理來斷定某一浮力質量m_b的蛋白質團的平均位置。對一支瓶高無限的啤酒而言，重力勢能可由下式求出

${\displaystyle H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,}$

其中z為蛋白質團的高度，而g則為重力加速度。由於s=1的關係，蛋白質團的平均勢能等於k_BT。因此，一個浮力質量為10MDa（大體上為病毒的大小）的蛋白質團會於平衡狀態做出一股2cm高的薄霧。這樣一種往平衡的澱積由梅森-韋弗爾方程所描述[14]。

通用均分定理是位力定理的一個延伸。位力定理於1870年被提出[35]，它明確指出

${\displaystyle {\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle },}$

其中t代表時間。兩個關鍵性的分別在於位力定理聯繫的是平均的總和而不是個別的平均，而且跟溫度T沒有關係。另一個分別是位力定理的傳統推導使用時間的平均，而均分定理則用相空間的平均。

理想氣體給能量均分定理提供一個重要應用。也為每粒子的平均動能提供了公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m}}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}}$

能量均分定理可被用於從古典力學中導出理想氣體定律[3]。若q=(q_x,q_y,q_z)且p=(p_x,p_y,p_z)代表氣體中一個粒子的位置向量及動量向量，而F為作用在該粒子上的淨力，則

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}}$

其中第一條等式為牛頓第二定律，第二行用了哈密頓力學及均分公式。將系統中的N個粒子的所有加起來得

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }}$

圖五：一個粒子的動能起伏可以是非常大的，但均分定理允許了在任何溫度下的平均能量計算。均分也提供了一個方法去導出理想氣體定律，一條聯繫氣體壓力、體積及溫度的方程式。（圖中五個分子被填成紅色以便追踪他們的行徑，而其他顏色則無關重要。）

由牛頓第三定律及理想氣體假設得，系統的淨力是由它們的容器上的牆所施行的，而這個力可由氣體的氣壓P所求得。因此

${\displaystyle -{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,}$

其中'dS為沿着容器牆的無限小面積元件。由於位置向量q散度為

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,}$

而散度定理表明

${\displaystyle P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,}$

其中dV為容器內無限小的體積，而V則為容器的總容量。

將這些等式結合得

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,}$

即馬上導出N個粒子理想氣體定律

${\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT,\,}$

其中n=N/N_A為氣體的摩爾數，而R=N_Ak_B則為氣體常數。

一雙原子氣體可用被一韌度為a彈簧連接的兩質量m₁及m₂作為模型，稱為“剛性轉子-諧波振蕩器近似法”[19]。此系統的古典能量為

${\displaystyle H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},}$

其中p₁與p₂為兩原子的動量，而q則為從平衡值得出的原子間距離的偏差。由於能量的每一自由度都為二次，並故此應向總平均能量提供½k_BT，向熱容提供½k_B。因此一有N雙原子分子的氣體的熱容被預測為7N·½k_B：p₁及p₂各提供三個自由度，q的延伸提供第七個。由此得一摩爾無其他自由度的雙原子氣體，其比熱容應為(7/2)N_Ak_B=(7/2)R，而因此摩爾比熱容應大概為7 cal/(mol·K)。但是雙原子氣體摩熱比熱容的典型實驗結果約為5 cal/(mol·K)[23]，並於非常低溫時跌至3 cal/(mol·K)。[24] 這個均分預測與實驗摩爾熱容值的不符，不能被更複雜的分子模型所解釋，因為增加自由度只會增加預測比熱值，而不會減少[25]。這個不符是需要物質量子理論的一個關鍵證據。

圖六：蟹狀星雲的X射線可見光結合圖像。在星雲的中心有一顆高速旋轉的中子星，其質量為太陽的一倍半但直徑只有25公里（大概跟馬德里一樣大）。均分定理對預測如此中子星的性質很有作用。

均分定理被用於從牛頓力學中導出古典理想氣體定律。但是相對性效應在某些系統中變得顯著，例如是白矮星及中子星[7]，而此時理想氣體定律一定要被稍作修改。均分定理為導出極度相對性理想氣體提供了方便的途徑[3]。在這樣的個案中，一個單粒子的動能可由以下公式求得：

${\displaystyle H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.}$

以動量分量p_x取H的導數得公式：

${\displaystyle p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}}$

之後以同樣的方式處理分量p_y及p_z。將三個分量全加起來得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}}$

其中最後一條等式則是均分定理公式的結果。因此，一極度相對性理想氣體的平均總能量要比非相對性的大兩倍：當有N個粒子時，總平均能量為3 N k_BT。

在一理想氣體中，假設粒子只通過碰撞來相互作用。均分定理可以用於推導“非理想氣體”的能量和壓力，這氣體中的粒子也通過守恒力與其他粒子相互作用，守恒力的勢U(r)只受粒子間距離r影響[3]。要描述這個狀況，首先將注意力集中於一個粒子，之後把其餘的氣體當球狀對稱分佈看待。然後按慣例引入徑向分佈函數g(r)，使得從某固定粒子於距離r找到另一粒子的概率密度等於4πr²ρ g(r)，其中ρ=N/V為氣體的平均密度[36]。可得某固定粒子跟其餘氣體的互相作用平均勢能為

${\displaystyle \langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr}$。

氣體的總平均勢能因此為${\displaystyle \langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle }$，其中N是氣體中的粒子數；在加起所有粒子數目的過程中會把每個粒子算兩次，所以需要用到½這個因子。

把動能及勢能加起來，然後使用均分定理，可得能量方程

${\displaystyle H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr}$。

用一套相近的論證下[3]，可用於導出壓力方程

${\displaystyle 3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr}$。

一非諧振器（跟簡單諧波振蕩器相對）的勢能並不與延伸長度q（量度平衡點偏差的廣義位置）成二次關係。這樣的振蕩器為均分定理提供了一個可作補充的觀點[37][38]。簡單例子中用的是勢能函數，其形式為

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s}}$ ，

其中C和S為任意實數。這些個案中，均分定律預測

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle }$ 。

因此，平均勢能等於k_BT/s，而不像二次諧波振蕩器那樣等於k_BT/2（此時s=2）。

更廣義地，一次元系統典型能量函數的有以延伸長度q表示的泰勒級數：

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}}$

其中n須為非負整數式子方能成立。沒有n=1的項是因為在平衡點上並無淨力作用，所以能量第一導數為零。毋需包括n=0的項是因為在約定俗成下平衡位置的能量可訂為零。此時，均分定律預測[37]：

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle }$ 。

相比以上引述的例子，均分定理公式

${\displaystyle \langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle }$

並不能把平均勢能以已知常數來表示。

圖七：一個粒子三次元空間內的典型布朗運動。

均分定理可用於從朗之萬方程中導出一粒子的布朗運動[3]。根據該方程，一質量為m，速度為v的粒子的運動是由牛頓第二定律支配的

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },}$

其中F^rnd為一代表着粒子及其周圍分子的隨機碰撞的隨機力，而時間常數τ反映阻礙粒子在溶液中運動的阻力。阻力很多時候被寫成F^drag =-γv，因此時間常數τ等於m/γ。

取方程與位置向量r的點積，平均後，得布朗運動用的方程

${\displaystyle {\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau }}\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0}$

（由於F^rnd跟位置向量r不相關）。使用數學恒等式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)}$

及

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},}$

布朗運動的基本方程可被轉變成

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,}$

其中從最後的等式可由均分定理得平移動能：

${\displaystyle \langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T}$。

以上${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$的微分方程（有適當的初始條件）可被整解得

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\frac {t}{\tau }}\right)}$。

在短時標上，t <<τ，粒子的行動就像自由粒子一樣：由指數函數的泰勒級數得，距離的平方大約以二次增長：

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}}$。

但是在長時標上，t >>τ，對數及常數項可被忽略，距離平方只以一次增長：

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt}$。

這描述了粒子隨着時間的滲透。一條剛性子旋轉滲透用的類似方程可用跟這個近似的方法導出。

均分定理及相關的位力定理在很早以前就已被用於天體物理學[39]。例如，位力定理可被用於由白矮星質量去估計恒星溫度或其錢德拉塞卡極限[40][41]。

一顆恒星的平均溫度可由均分定理估計[42]。由於大部份恒星都是球狀對稱，總重力勢能可由積分法估算

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,}$

其中M(r)為半徑r以內的質量而ρ(r)則是於半徑r時的恒星密度；G代表萬有引力常數，R為恒星總半徑。假定整個恒星內的密度一致，該積分可得公式

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},}$

其中M為恒星總質量。因此一個單粒子平均勢能為

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},}$

其中N為恒星內的粒子數目。由於大部分恒星都是由離子化的氫所組成的，N大概等於(M/m_p)，其中m_p為一個質子的質量。應用均分定理可得一個恒星溫度的約值

${\displaystyle {\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.}$

將太陽的質量及半徑代入得太陽溫度的大約值T等於一千四百萬開爾文，跟其核心溫度一千五百萬開爾文非常接近。但是，太陽被這個模型假設的要複雜得多——它的溫度及質量都隨半徑而變動甚大——而且如此極佳的切合度（≈7%相對誤差）在一定情況下是偶然的[43]。

同一組方程可被用於斷定巨型分子雲中的恒星形成狀態[44]。這樣一個雲的本地密度起伏可以引致一個很壞的情況，當中分子雲會在自己的重力下向內倒塌。這樣一個倒塌在當均分定理——或同樣地位力定理——不再有效的時候發生，亦即當重力勢能超越動能兩倍的時候

${\displaystyle {\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T}$

設雲的密度固定為ρ

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

得恒星收縮的最小質量，金斯質量M_J

${\displaystyle M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right)}$

代入這樣的雲的典型觀測值（T=150 K，ρ=2×10⁻¹⁶g/cm³）可得一為17個太陽質量的最小質量估值，跟恒星形成的觀測一致。這個效應亦被稱為金斯不穩定性，以在1902年發表這理論的英國物理學家詹姆士·金斯命名[45]。

均分定理的原公式化表述明確指出，在任何處熱平衡狀態的物理系統中，每一種粒子有着完全一樣的平均動能(3/2)k_BT[46]。但事實上，這個結果僅適用於理想氣體，並且可使用馬克士威-波茲曼分布導出，方法如下。首先，我們先暫時只考慮粒子在z方向上的速度分布

${\displaystyle f(v_{z})={\sqrt {\dfrac {m}{2\pi k_{B}T}}}\;e^{\frac {-m{v_{z}}^{2}}{2k_{B}T}}}$

有了以上式子，便可以計算粒子在z方向上的方均速度

${\displaystyle \langle {v_{z}}^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(v_{z}){v_{z}}^{2}dv_{z}={\dfrac {k_{B}T}{m}}}$

由於粒子在x、y、z各方向上的速度互相獨立且不互相影響，因此粒子的平均動能為

${\displaystyle \langle E_{k}\rangle ={\dfrac {3}{2}}m\langle {v_{z}}^{2}\rangle ={\dfrac {3}{2}}k_{B}T}$

注意，馬克士威-波茲曼分布不應與波茲曼分布混淆，因為前者必須假設粒子的總能等於其平移動能，才能由後者導出。

更一般地說，能量均分定理明確指出任何只在總能量 ${\displaystyle H}$ 中只以一簡單二次項 ${\displaystyle Ax^{2}}$ （此處 ${\displaystyle A}$ 為一常數）出現的自由度 ${\displaystyle x}$ ，於熱平衡時有平均能量 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{B}T}$ 。在這個案中均分定理可從配分函數 ${\displaystyle Z(\beta )}$ 中導出，其中 ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$ ，為正則溫度倒數[47]。從 ${\displaystyle Z}$ 的式子中，經變量 ${\displaystyle x}$ 取積分得因子

${\displaystyle Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2}}={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A}}}}$ ，

而跟這個因子有關的平均能量為

${\displaystyle \langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \log Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T}$

跟均分定理指出的一致。

均分定理的一般證明可於很多統計力學的教科書中找到，包括微正則系綜用[3][7] 及正則系綜用[3][34] 的。它們都需要取系統相空間中的平均，而它是一個辛流形。

要解釋這些推導，需要引入以下的記法。首先，相空間是由廣義位置坐標q_j跟它們的共軛動量p_j一起描述的。量q_j完整描述系統位形，而量(q_j,p_j)一起則描述完整描述系統的狀態。

第二，相空間的無限小體積

${\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i}}$

需被引入以用於定義

${\displaystyle \Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .}$

在這式子中，ΔE被假定為非常小的，ΔE<<E。同樣地，Σ(E)被定義為相空間中能量被E低的總體積：

${\displaystyle \Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .}$

由於ΔE非常小，以下這兩條積分式是等價的

${\displaystyle \int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,}$

其中省略号代表被積函數。由此可得Γ與ΔE成正比

${\displaystyle \Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}=\Delta E\ \rho (E),}$

此處ρ(E)為狀態密度。由統計力學常用的定義得，熵S等於k_BlogΣ(E)，而溫度被定義為

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}=k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}}$ 。

在正則系綜中，系統正與一溫度為T（以開爾文計算）的無限熱庫處與熱平衡[3][34]。在相空間中每一態的概率由波茲曼因子乘上重整化因子${\displaystyle {\mathcal {N}}}$得出，而重整化因子的值是為使總概率成一而設的。

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,}$

其中β=1/k_BT。為一相空間變量x_k（可為q_k或p_k）使用分部積分法得方程

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,}$

其中dΓ_k=dΓ/dx_k ，即第一個積分並沒有取x_k積分的。第一項通常為零，這是因為在極限下x_k為零，或因為能量在那極限下趨向無限。此時，可馬上得正則系綜的均分定理

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T.}$

這裏被${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$符號化的平均是正則系綜中的正則平均。

在微正則系綜中，系統與外界隔絕，或只是跟外界很弱的耦合起來[7]。因此，其總能量實際上是恒定的；要明確的話，則需指出總能量H局限於E及E+ΔE之間。對某固定能量E及其範圍ΔE而言，有一相空間區域Γ，在內系統有該能量且每一態在該相空間區域的機率均等。已知該等定義，相空間變量x_m（可為q_k或p_k）的均分平均為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }&={\frac {1}{\Gamma }}\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(H-E\right)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma ,\end{aligned}}}$

此處能得出最後一等式是因為E乃一常數，並不受x_n影響。使用分部積分法得方程

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}}$

這是由於第一行右方第一項為零的緣故（該項能被寫成在H=E的超曲面上H-E的一個積分）。

將該結果代入前面的方程可得

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho }}}$ 。

由於${\displaystyle \rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}}$，可得均分定理

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T}$ 。

如是者就導出了均分定理的通用公式

也就是在之前應用中如此有用的那條公式。

均分定律只對處於熱平衡的遍歷系統有效，這意味着同一能量的態被遷移的可能性必然一樣[7]。故此，系統一定要可以讓它所有各形態的能量能夠互相交換，或在正則系綜中跟一熱庫一起。已被證明為遍歷的系統數量不多；雅科夫·西奈的硬球系統是一個有名的例子[48] 。讓隔離系統保證其遍歷性——因而，均分定理——的需求已被研究過，同時研究還推動了動力系統混沌理論的發展。一混沌哈密頓系統不一定是遍歷系統，儘管假定它是通常也足夠準確[49]。

有時候能量並不由它的各種形式所攤分，且此時均分定理在微正則系綜不成立，耦合諧波振蕩器系統就是在這狀況下常被引用的一個例子[49]。如果系統跟外界隔絕，那每一個正常模態的能量是恒定的；能量並不由一個模態傳遞到另一模態的。因此在這樣一個系統中均分定理無效；每一個模態能量的量都被它的起始值所固定。如果能量函數中有着足夠強的非線性量的時候，能量可能可以在正常模態中傳遞，使系統走向遍歷並使均分定律有效。然而，柯爾莫哥洛夫 - 阿諾德 - 莫澤定理明確指出除非擾動夠強，否則能量不會交換；如擾動小的話，最低限度能量會繼續受困於一些模態中。

當熱能k_BT比能階間的差要小得多的時候，均分法則就會失效。均分此時不再成立，是因為能階組成平滑連續能譜的這個假設跟實際情況不近似，而這假設在上面均分定理推導中有用到[3][7]。歷史上，古典均分定理在解釋比熱及黑體輻射時的失敗，對表明需要一套物質及輻射的新理論（即量子力學及量子場論）起了關鍵性的作用[10]。

圖十：以溫度表示量子機械振蕩器平均能量（紅線）的對數-對數圖像。為比較起見，由均分定理預測的值用了黑線來表示。在高溫時，兩者幾乎完全吻合，但到了當k_BT<<hν的低溫時，量子值的下跌要急得多。這樣就解決“紫外災變”的問題：在某固定溫度時，高頻模態（即hν>>k_BT時）的能量幾乎為零。

要說明均分的失效，可考慮一單（量子）諧波振蕩子的平均能量，古典個案在上文已討論過。它的量子能階為E_n=nhν，其中h為普朗克常數，ν為振蕩子的基本頻率，而n則為一整數。某指定能階正被置於正則系綜的概率可由其波茲曼因子得出

${\displaystyle P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z}}}$，

其中β=1/k_BT，而分母中的Z為配分函數，此處為一等比級數

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }}}}$。

則其平均能量為

${\displaystyle \langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}}$。

將Z的式子代入得最後結果[7]：

${\displaystyle \langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}}$。

於高溫時，當熱能k_BT比能階差hν大得多的時候，指數變量βhν比一要小得多，所以平均能量成了k_BT，跟均分定理一致（見圖十）。然而於低溫時，當hν>>k_BT的時候，平均能量走向零——高頻能階被“凍結”了（見圖十）。作為另一例子，氫原子內部的受激電子態在室溫下並不提供任何比熱，這是由於熱能k_BT（大概是0.025 eV）比最低及下一高能階之間的差（大概是10 eV）要小得多的緣故。

相近的考量可用於任何能階差比熱能大得多的狀況下。例如，艾爾伯特·愛因斯坦就是用這套論證解決黑體輻射的紫外災變[50]。由於在一封閉容器下的電磁場有無限個獨立模態，每一個都能被當作諧波振蕩器看待，因而就形成了悖論。如果每一個電磁模態皆有平均能量k_BT，容器內的能量將為無限大[50][51]。然而，根據以上的論證，高ω模態的平均值當ω趨向無限時趨向零；而且描術模態實驗中能量分佈的普朗克黑體輻射定律，也是根據同一組論證所中得出的[50]。

此外，更微妙的量子效應可引起均分定理的修正，例如全同粒子及連續對稱。全同粒子效應可在非常高密度且低溫時有着顯著的效果。比方說金屬的價電子可以有幾個電子伏的平均能量，正常情況一般對應數萬開爾文的溫度。如此的狀態，密度高得讓泡利不相容原理使得古典門徑無效化，被稱為簡并態費米子氣體。這種氣體對白矮星及中子星的結構很重要。在低溫時，玻色-愛因斯坦凝聚（此凝聚中大量全同粒子佔據了低能量態）的費米子類比能夠形成；這種超流體電子是引起超導現象的成因。