三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 ${\displaystyle a}$ ，则其面積公式為 ${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩个角為45度。

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 ${\displaystyle b}$ ，腰是 ${\displaystyle a}$，则其面積公式為 ${\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

• 三角边長不等式

  三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。

• 三角內外角不等式

  三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

• 三角形外角

  三角形兩內角之和，等於第三角的外角。

• 三角形內角和

  在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 ${\displaystyle c}$ 為斜邊，即 ${\displaystyle c}$ 的對角 ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ ，則

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$，

則

${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$

設 ${\displaystyle R}$ 为三角形外接圓半径，則

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$

對於任意三角形：

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .}$

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}$ 时， ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ ，于是 ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$ 化简为 ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ 。

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

• SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
• SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
• ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。[1]
• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。[2]^:34[3]

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
• 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
• 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，若三边${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c\,}$的中線分别为${\displaystyle m_{a}}$、${\displaystyle m_{b}}$、${\displaystyle m_{c}}$，则：

${\displaystyle m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}$

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，連接三个顶点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$上的高分別记作${\displaystyle h_{a}}$、${\displaystyle h_{b}}$、${\displaystyle h_{c}}$，則：

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}$

${\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}$

${\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}$

其中 ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ 。

设在${\displaystyle \Delta ABC\,}$中，若三个角${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$的角平分线分别为${\displaystyle t_{a}}$、${\displaystyle t_{b}}$、${\displaystyle t_{c}}$，则：

${\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}}$

${\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}}$

${\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}$

三角形的面積 ${\displaystyle A}$ 是底邊 ${\displaystyle b}$ 與高 ${\displaystyle h}$ 乘積的一半，即：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明

三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 ${\displaystyle bh}$ 的長方形。因此原來的三角形面積為

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$。

證畢。

設 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ 為已知的兩邊， ${\displaystyle \gamma }$ 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}$。

證明

三角形的高h能以正弦的定義表示。

觀察右圖，根據正弦的定義：

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {h}{a}}}$。

因此：

${\displaystyle h=a\sin \gamma }$。

將此式代入基本公式，可得：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}$。

證畢。

${\displaystyle \beta }$ 、 ${\displaystyle \gamma }$ 為已知的兩角， ${\displaystyle a}$ 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}}$。

證明

三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。

從正弦定理可知：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}}$

代入 ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$ ，得：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}$。

注意到${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$，因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}}$

證畢。

海龍公式，其表示形式為：

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$，

其中 ${\displaystyle s}$ 等於三角形的半周長，即：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

${\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}}$

也有用幂和来表示的公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}$[註 1]

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

${\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}}$

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ，三角形面積為：

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}$。

由 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 、 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 及 ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

${\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|}$

若三個頂點設在三維座標系上，即由 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 、 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 及 ${\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}$ 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}}$

設三角形三邊邊長分別為 ${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$ ，三角形半周長（ ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$ ）為 ${\displaystyle s}$ ，內切圓半徑為 ${\displaystyle r}$，則：

${\displaystyle A=sr}$

若設外接圓半徑為 ${\displaystyle R}$ ，則：

${\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}}$

證明

內切圓半徑公式

三角形被三條角平分線分成三分。

根據右圖，設 ${\displaystyle {\overline {AB}}=c}$ ， ${\displaystyle {\overline {AC}}=b}$ ， ${\displaystyle {\overline {BC}}=a}$ ，則三角形面積可表示為：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}}$

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}}$

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}}$

設從一角出發，引出兩邊的向量為 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 及 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ，三角形的面積為：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}$