雙三斜十二面體

雙三斜十二面體由24個面組成，其24個面中，有12個五邊形和12個五角星，每個面都是3個五邊形和3個五角星的公共頂點。

邊長為單位長，且幾何中心位於原點的雙三斜十二面體的頂點座標為[6][7]：

${\displaystyle (0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0)}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$。

雙三斜十二面體的二面角為五平方根倒數的反餘弦值[8]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {5}}{5}})\approx 1.1071\approx 63.4349^{\circ }}$

雙三斜十二面體的對偶多面體。

雙三斜十二面體的對偶多面體為內側三角六邊形二十面體，是一種星形二十面體。但由於其與《五十九種二十面體》中收錄的大三角六邊形二十面體有些許不同，因此被描述為「遺失的星形二十面體」[9][10]。

由於雙三斜十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面，因此，這種形狀在拓樸中相當於六階五邊形鑲嵌的商空間。

因此在另外一個索引中也被看作是一種抽象的正多面體[11]。

雙三斜十二面體在拓樸學上由24個五邊形組成，且每個頂點都是6個五邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。[11][12][13]然而這種抽象面體若是具象化為雙三斜十二面體則僅能具象化一半的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為9的六階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,6}₄）[14]，對應的皮特里多邊形為四邊形[14]。

其他四種抽象正多面體為：

多面體	內側菱形三十面體	截半大十二面體	內側三角六邊形二十面體	雙三斜十二面體	凹五角錐十二面體
種類	{4,5}6	{5,4}6	{6,5}4	{5,6}4	{6,6}6
頂點圖	{5}, {5/2}	(5.5/2)2	{5}, {5/2}	(5.5/3)3
面	30個菱形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形
鑲嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

雙三斜十二面體與其對偶的複合體為複合雙三斜十二面體內側三角六邊形二十面體。其共有44個面、120條邊和44個頂點，其尤拉示性數為-32，虧格為17，有32個非凸面，在威佐夫記號中以(3 5/3 | 5)表示[15]。