如何找出函数的域

共同创作者是 Grace Imson, MA

函数的域是可以替代到函数自变量的数字组。换句话说，它是一组x值，可以放进函数任意一个等式中。可能的y值的集合称为因变量范围。如果你想要在各种情况下知道如何查找函数的域，可以执行下面的这些步骤。

方法 1

方法 1 的 6:

学习基础知识

域被定义为可以让其函数产生一个输出值的输入值的集。换句话说，域是完整的 x 值的集合，可以插入函数中以生成 y 值。
2
学习如何找到各种函数的域。函数的类型将决定何种方法是用于查找函数域的最佳方法。下面是你需要了解的各种函数的类型，其基本知识的讲解将在下一节中介绍：
- 没有根号或分母中没有变量的多项式函数。对于此类型函数，域是所有实数。
- 函数是一个分数表达式，且分母中有变量。若要查找这种类型的函数的域，让分母等于零求解，将找到的变量的值排除掉，剩下的就是函数的域。
- 函数带根号，且根号内有变量。要查找这种类型函数的域，只需求解根号里面的方程大于等于 0，找到的变量的值就是该函数的域。
- 使用自然对数 (ln) 的函数。只需让括号中的方程 > 0，对此求解就能找到函数的域。
- 图形函数。查看函数的图形，看看都有哪些值适合 x。
- 关系。这将是一个列出 x 和 y 坐标值的列表。函数的域将只是 x 坐标的列表。
3
正确地表述函数的域。域的正确表述实际上是简单易学的，但是重要的是，你正确地写出涵盖所有分配点和测试点的表达式。下面是一些你在书写函数的域的时候需要知道的注意事项：
- 域的表示格式是以起始的方括号/圆括号开头，然后是域值的两个端点，中间用逗号分隔，后面跟一个封闭的方括号/圆括号。^{[1]
  X
  研究来源}
  - 比如，[-1,5)。这意味着域是从-1 到 5。
- 使用方括号，比如[和]来表示数字包括在域中。
  - 所以在示例中，[-1,5)，域包含-1。
- 使用圆括号，比如(和)来表示数字不包括在域中。
  - 所以在示例 [-1,5) 中，5 不包括在域中。域无限接近 5，即 4.999......
- 使用“U”（意思是"联合"）来连接有分隔开的各个域。
  - 例如，[-1,5) U (5,10]。这意味着域是从-1 到 10，包括两个端点，但在 5 这个地方域有一个空。这可能是函数的结果，例如，函数式 "x-5" 出现在分母中。
  - 如果域中具有多个空，可以使用多个"U"符号，直到满足需求为止。
- 使用无穷大和负无穷大标志表示域朝某一方向无限延伸。
  - 当表示无穷大符号时，总是使用 ()，而不是 []。
- 记住，表示方法可能会因你所在的地区而不同。
  - 上述规则适用于英国和美国。
  - 一些地区用箭头而不是无穷大符号来表示域朝某一方向无限延伸。
  - 括号的使用也会因地区而异。例如，比利时使用反向方括号而不是圆括号。
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方法 2

方法 2 的 6:

查找带有分式的函数的域

1
写下问题。假设你正在处理以下问题：
- f(x) = 2x/(x² - 4)
2
对于分数中的分母含有变量的函数，设置分母等于零。当查找带有分式的函数的域的时候，你必须排除所有使分母等于零的 x 值，因为你永远不能除以零。所以，为这个分母写一个方程，将它设置为等于 0。下面教你怎么做：
- f(x) = 2x/(x² - 4)
- x² - 4 = 0
- (x - 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ (2, - 2)
3
表述这个域。下面教你怎么做：
- x = 除了 2 和-2 以外的所有实数
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方法 3

方法 3 的 6:

找到一个具有平方根的函数的域

假设你正在处理以下问题： Y = √ (x-7)
2
平方根号里面的函数必须大于或等于 0。虽然你可以给 0 开平方根，但你不能为负数开平方根。所以，设置平方根号里面的函数要大于或等于 0。请注意这不仅适用于求平方根，而且适用于所有求偶数方次的根。然而这不适用求奇数方次的根，因为奇数方次的根的解可以是负数。过程是：
- x-7 ≧ 0
3
分离变量。现在来分离上面方程左边的变量，在方程等号两边都加7，这样你会得到：
- x ≧ 7
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这样就正确地描述了域。下面是你书写的方式：
- D = [7,∞)
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寻找有多个解的一个平方根的函数的域。假设你在解下面的函数: Y = 1 / √ （ ̅ x ²-4)。当你设置分母不能等于零，你会得到 x ≠ (2，-2)。然后你再做：
- 现在，检查-2 下面的区域（插入一个数例如-3)，来看看是否-2 下面的数字是否可以插入根号中的函数，得到一个大于 0 的数字。结果如此。
  - (-3)² - 4 = 5
- 现在，检查-2 和 2 之间的区域。比如说挑选 0 做检验。
  - 0² - 4 = -4，结果不是大于零，这样我们知道 -2 和 2 之间的数字不适合这个函数。
- 现在尝试大于 2 的数字，比如 3 。
  - 3² - 4 = 5，结果大于零，这样我们知道大于 2 的数字适合这个函数。
- 写下这个函数的域，这样就行了。你应该写成下面这样：
  - D = (-∞, -2) U (2, ∞)
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方法 4

方法 4 的 6:

找到具有自然对数的函数的域

1
写下问题。假设我们的题目是：
- f(x) = ln(x-8)
2
设置使括号内的值大于零的条件。自然对数必须是一个正数，所以设置括号内的值为大于零。你该这么做：
- x - 8 > 0
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解这个不等式。不等式两边都加 8 ，以隔离变量 x。过程是：
- x - 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
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表述这个域。显示此函数的域是所有大于 8 直到无穷大的数字。过程是：
- D = (8,∞)
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方法 5

方法 5 的 6:

找到使用图形的函数的域

2
检查包括在这个图形中的 x 值。这可能是说易行难，但这里有一些提示：
- 直线。如果你看到图形是一条直线一直延伸到无穷远，那么所有 x 都将被涵盖，所以域等于所有实数。
- 正常的抛物线。如果你看到的是面向上或向下的抛物线，那么这个函数的域将是所有实数，因为最终 x 轴上的所有数字都将被涵盖。
- 侧向的抛物线。现在，如果你有一个顶点在 (4, 0)向右无限延伸的一条抛物线，那么函数的域是 D = [4， ∞ )
仅仅表述你正在做的图形的域。如果你不确定，并且知道直线方程，可以将 x 坐标插入函数来检查。

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方法 6

方法 6 的 6:

查找使用关系的函数的域

关系只是一组的 x 和 y 坐标。假设你正在使用以下坐标： {（1, 3）、（2, 4）、（5, 7）}
它们是： 1，2，5。
D = {1, 2, 5}
如果关系是一个函数，每次你代入一个数值 x 坐标，应该得到的相同的 y 坐标。所以，如果你把3代入 x，应始 y 始终得到的是 6 等等。下面的关系 '不' 是一个函数，因为对相同的'x'，你会得到两个不同的 'y'， {(1, 4), (3, 5), (1, 5)}。

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