如何求矩形对角线的长度

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对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。^{[1]
X
研究来源}一个矩形有两条对角线，它们长度相等。^{[2]
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研究来源}如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。

方法 1

方法 1 的 3:

使用长和宽

1
列出勾股定理的公式。该公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ，其中 $a$ $a$ 和 $b$ $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ $c$ 是直角三角形的斜边长度。^{[3]
X
研究来源}
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。^{[4]
  X
  研究来源}矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
2
将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是 $a$ $a$ 和 $b$ $b$ 。
- 例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式： $3^{2}+4^{2}=c^{2}$ 。
3
算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
  $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
  $9+16=c^{2}$
  $25=c^{2}$
4
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。^{[5]
X
研究来源}这样可以算出 $c$ $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  $25=c^{2}$
  ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $5=c$
  因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。
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方法 2

方法 2 的 3:

使用面积和周长

该公式是 $A=lw$ ，其中 $A$ 为矩形的面积， $l$ 为矩形的长，而 $w$ 为矩形的宽。^{[6]
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研究来源}
2
将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量 $A$ $A$ 。
- 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式： $35=lw$ 。
$Step 3 变换等式，使之变成 w {\displaystyle w} 的表达式。$

3
变换等式，使之变成 $w$ 的表达式。等式两边都除以 $l$ $l$ 。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
- 例如：
  $35=lw$
  ${\frac {35}{l}}=w$ 。
该公式是 $P=2(w+l)$ ，其中 $w$ 为矩形的宽，而 $l$ 为矩形的长。^{[7]
X
研究来源}
5
将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量 $P$ $P$ 。
- 例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式： $24=2(w+l)$ 。
6
等式两边都除以2。这样就算出了 $w+l$ $w+l$ 的值。
- 例如：
  $24=2(w+l)$
  ${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
  $12=w+l$ 。
$Step 7 将 w {\displaystyle w} 的表达式代入到等式中。$

7
将 $w$ 的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。
- 例如，如果使用你变换而得的表达式 ${\frac {35}{l}}=w$ ，把它代入周长公式中的 $w$ ：
  $12=w+l$
  $12={\frac {35}{l}}+l$
8
去掉等式中的分母。等式两边都乘以 $l$ $l$ 。
- 例如：
  $12={\frac {35}{l}}+l$
  $12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
  $12l=35+l^{2}$
9
使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。
- 例如：
  $12l=35+l^{2}$
  $12l-12l=35+l^{2}-12l$
  $0=35+l^{2}-12l$
10
按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
- 例如， $0=35+l^{2}-12l$ 变成了 $0=l^{2}-12l+35$ 。
11
将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
- 例如，方程 $0=l^{2}-12l+35$ 可因式分解成 $0=(l-7)(l-5)$ 。
$Step 12 求 l {\displaystyle l} 的值。$

12
求 $l$ 的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
- 例如：
  $0=(l-7)$
  $7=l$
  及
  $0=(l-5)$
  $5=l$ 。
  因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。
13
列出勾股定理的公式。该公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ，其中 $a$ $a$ 和 $b$ $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ $c$ 是直角三角形斜边的边长。^{[8]
X
研究来源}
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。^{[9]
  X
  研究来源}矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
14
将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
- 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式： $5^{2}+7^{2}=c^{2}$ 。
15
算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
16
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。^{[10]
X
研究来源}这样可以算出 $c$ $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  因此，面积为 $35cm^{2}$ 而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。
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方法 3

方法 3 的 3:

使用面积和边长的相对关系

1
写下能够说明两条边边长之间关系的等式。^{[11]
X
研究来源}你可以将之写成长( $l$ $l$ )或宽( $w$ $w$ )的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
- 例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出 $w$ 的表达式： $w=l+2$ 。
2
列出矩形的面积公式。该公式是 $A=lw$ $A=lw$ ，其中 $A$ $A$ 为矩形的面积， $l$ $l$ 为矩形的长，而 $w$ $w$ 为矩形的宽。^{[12]
X
研究来源}
- 如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是 $P=2(w+l)$ ，其中 $w$ 为矩形的宽，而 $l$ 为矩形的长。^{[13]
  X
  研究来源}
3
将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量 $A$ $A$ 。
- 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式： $35=lw$ 。
4
将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求 $l$ $l$ 或 $w$ $w$ 变量的值都可以。
- 例如，如果你知道 $w=l+2$ ，可以将这个表达式代入面积公式中的 $w$ ：
  $35=lw$
  $35=l(l+2)$
5
列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
- 例如：
  $35=l(l+2)$
  $35=l^{2}+2l$
  $0=l^{2}+2l-35$
6
将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
- 例如，方程 $0=l^{2}+2l-35$ 可因式分解成 $0=(l+7)(l-5)$ 。
$Step 7 求 l {\displaystyle l} 的值。$

7
求 $l$ 的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
- 例如：
  $0=(l+7)$
  $-7=l$
  及
  $0=(l-5)$
  $5=l$ 。
  在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。
8
将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。
- 例如，如果你知道矩形的长为5 cm，且边长之间的关系为 $w=l+2$ ，可以将长的值5代入到表达式中：
  $w=l+2$
  $w=5+2$
  $w=7$
9
列出勾股定理的公式。该公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ，其中 $a$ $a$ 和 $b$ $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ $c$ 是直角三角形斜边的边长。^{[14]
X
研究来源}
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。^{[15]
  X
  研究来源}矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
10
将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
- 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式： $5^{2}+7^{2}=c^{2}$ 。
11
算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
12
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。^{[16]
X
研究来源}这样可以算出 $c$ $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  因此，宽比长要长2 cm，且面积为 $35cm^{2}$ 的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。
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