正交群

保持R³原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

• SO(3,R):
  • 恒同
  • 绕一个过原点的轴转动不等于180°
  • 绕一个过原点的轴转动180°
• 以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
  • 关于原点的点反演
  • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
  • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rⁿ的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }$；如果n是偶数，两个子群的交是${\displaystyle \pm 1}$，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有${\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$。

低维实正交群是熟悉的空间：

${\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}}$

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

${\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}$

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

${\displaystyle S^{n}}$是${\displaystyle O(n+1)}$的齐性空间，从而有如下纤维丛：

${\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}$

可以理解为：正交群${\displaystyle O(n+1)}$ 传递地作用于单位球面${\displaystyle S^{n}}$上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$是自然包含。

从而包含${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对${\displaystyle n>k+1}$有${\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}$，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}$，从而O的同伦群以8为周期，即 ${\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}$，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}}$

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：${\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}$。

设${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }$（使得${\displaystyle \pi _{0}}$满足周期性），我们得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}}$

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

• ${\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}$保持/反定向（这个类存留到${\displaystyle O(2)}$从而稳定）

${\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}$得出：

• ${\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}$即自旋群
• ${\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}$，有到${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}$的满射，从而后一个群消失。

由李群一般性事实，${\displaystyle \pi _{2}G}$总消失，${\displaystyle \pi _{3}G}$是自由阿贝尔群。

从向量丛的观点来看，${\displaystyle \pi _{0}(KO)}$是${\displaystyle S^{0}}$上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$是维数。

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用${\displaystyle \pi _{0}}$、O，以及O/U有两个分支，${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }$和${\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }$有${\displaystyle \mathbf {Z} }$个分支，其实是连通的。

一小部分结论：[1]

• ${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$是维数
• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}$是定向
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}$是自旋
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }$是拓扑量子场理论

令${\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }$，以及${\displaystyle L_{F}}$为射影线${\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}}$上的重複线丛，${\displaystyle [L_{F}]}$是其K-理论。注意到${\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}$，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{8}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}$生成