三角函数

a，b，h分別為角A的对边、邻边和斜边

直角三角形只有锐角（大小在0至90度之间的角）三角函数的定义[6]。指定锐角${\displaystyle \theta }$可做出直角三角形，使一個内角為${\displaystyle \theta }$，對應股（对边a）、勾（邻边b）和弦（斜边h）：

${\displaystyle \theta }$的正弦是对边与斜边的比值：${\displaystyle \sin {\theta }={\frac {a}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘弦是邻边与斜边的比值：${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的正切是对边与邻边的比值：${\displaystyle \tan {\theta }={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的余切是邻边与对边的比值：${\displaystyle \cot {\theta }={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \theta }$的正割是斜边与邻边的比值：${\displaystyle \sec {\theta }={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘割是斜边与对边的比值：${\displaystyle \csc {\theta }={\frac {h}{a}}}$

假设${\textstyle P(x,y)}$是平面直角坐标系${\textstyle xOy}$中的一点，${\textstyle \theta }$是横轴正向${\textstyle {\vec {Ox}}}$逆时针旋转到${\textstyle {\vec {OP}}}$方向所形成的一個角，${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是${\textstyle P}$到原点${\textstyle O}$的距离，则${\displaystyle \theta }$的六種三角函数定义为[7]：

正弦	餘弦	正切	餘切	正割	餘割
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {r}{x}}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {r}{y}}}$

这样可以定义任何角度的三角函数（除非当定义式无意义时）。大于360°或小于-360°的角度可认为是转了（逆时针／顺时针）不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值[8]。如果按弧度制方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值（360°等于${\displaystyle 2\pi }$），那么三角函数就是取值为全体实数R，最小正周期（基本周期）为${\displaystyle 2\pi }$的周期函数，如

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} }$

正弦、余弦、正割或余割的基本周期是${\displaystyle 2\pi }$弧度或360°；正切或余切的基本周期是${\displaystyle \pi }$弧度或180°。

三角函数亦可以根据直角坐标系${\displaystyle xOy}$中半径为1，以圆心为原点${\displaystyle O}$的单位圆来定义[1]。指定一角${\displaystyle \theta }$，假设${\displaystyle A(1,0)}$为起始点，如果${\displaystyle \theta >0}$则将${\displaystyle OA}$以逆时针方向转动，如果${\displaystyle \theta <0}$则以顺时针方向移动，直到转过的角度等于${\displaystyle \theta }$为止。假设最终点A转到的位置为${\displaystyle P(x,y)}$，那么

用单位圆定义三角函数

正弦	餘弦	正切	餘切	正割	餘割
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$

不同的三角函数之间有很多对任意的角度取值都成立的等式，称为三角恒等式。最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方必定會是1[1]。这能从斜边为1的直角三角形应用勾股定理來得出。利用符号形式表示的話，毕达哥拉斯恒等式为

${\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1}$。

因此可以推導出

${\displaystyle \tan ^{2}\!x+1=\sec ^{2}\!x}$。

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\!x=\csc ^{2}\!x}$。

另一個关键联系是和差公式，它能根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦[1]。它们可以利用几何的方法使用托勒密的论证方法來推导出来；还可以利用代数方法使用欧拉公式來檢定[註 2]。

当两角相同，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）：

${\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\cos x}$

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}$

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式[10]，以前曾經利用它把两数的积变换成两数的和而像对数那样使运算更快。（用制好的三角函数表）

還有半角公式：

${\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}}$

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。以下是六種基本三角函數的導數和積分。

函数	${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \csc x}$
导数	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle -\csc {x}\cot {x}}$
反导数（不计常数项）	${\displaystyle -\cos x}$	${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|}$

正弦函数（蓝色）十分接近于它的7次泰勒级数（粉色）

在几何学中，三角函数的定义建立在几何直观上，只用几何和极限的性质就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析学中，三角函數是解析函數，数学家利用泰勒級數给出了不依赖几何直观的代数定义[11]：

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

可以证明以上的无穷级数对任意实数${\displaystyle x}$都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。

三角函数的级数定义經常用作严格处理三角函数和起点应用（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可以从实数系的基础发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他三角函数的级数定义：[12]

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots (0<|x|<\pi )}$

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots (0<|x|<\pi )}$

其中${\displaystyle B_{n}\,}$是伯努利数，${\displaystyle E_{n}\,}$是欧拉数。

这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一條定理得出，这实函数到复数有唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，复数的三角函数是使用上述级数来定义。

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：

${\displaystyle e^{{\mathrm {i} }\theta }=\cos \theta +{\mathrm {i} }\sin \theta \,}$。（i是虚数单位）

欧拉首先注意到这关系式，因此叫做欧拉公式[13]。从中可推出，对实数x，

${\displaystyle \cos x\,=\,\operatorname {Re} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)\;\;,\qquad \quad \sin x\,=\,\operatorname {Im} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)}$

进一步还可定义对複自变量z的三角函数：

${\displaystyle \sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2{\mathrm {i} }}=-{\mathrm {i} }\sinh \left({\mathrm {i} }z\right)}$

${\displaystyle \cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2}=\cosh \left({\mathrm {i} }z\right)}$

${\displaystyle \sin(a+b\mathrm {i} )=\sin a\cosh b+(\cos a\sinh b)\mathrm {i} }$

${\displaystyle \cos(a+b\mathrm {i} )=\cos a\cosh b-(\sin a\sinh b)\mathrm {i} }$

${\displaystyle \tan(a+b\mathrm {i} )={\frac {\tan a+(\tanh b)\mathrm {i} }{1-(\tan a\tanh b)\mathrm {i} }}}$

（其中${\displaystyle \sinh }$、${\displaystyle \cosh }$、${\displaystyle \tanh }$為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號）

複平面中的三角函數（亮度表示函數值的絕對值，色相表示函數值的主輻角）

${\displaystyle \sin(z)}$	${\displaystyle \cos(z)}$	${\displaystyle \tan(z)}$	${\displaystyle \cot(z)}$	${\displaystyle \sec(z)}$	${\displaystyle \csc(z)}$

單位圓上的三角函數，包括了兩種正矢（versin、vercos）、餘矢（coversin、covercos）、弦函數（crd）、外正割（exsec）和外餘割（excsc）

除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種较少見的三角函数：

• 弦函數（${\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta }$）：早期的三角函數表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函數為crd函數。[14]不過今日此函數已被正弦函數取代，已經鮮少使用。
• 正矢（${\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta }$）、餘矢系列函數，與其半值函數（如半正矢系列函數）：早期導航術中很重要的三角函數之一，因半正矢公式出名。[15]不過其定義和基本三角函數高度相關，因此在和普及後這個函數已經幾乎沒再使用。
• 外正割（${\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta }$）和外餘割（${\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta }$）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在和普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。[15]

正矢	${\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta =1-\cos \theta }$	半正矢	${\displaystyle \mathrm {haversin} \;\theta ={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
餘的正矢	${\displaystyle \mathrm {vercosin} \;\theta =1+\cos \theta }$	餘的半正矢	${\displaystyle \mathrm {havercosin} \;\theta ={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
餘矢	${\displaystyle \mathrm {coversin} \;\theta =1-\sin \theta }$	半餘矢	${\displaystyle \mathrm {hacoversin} \;\theta ={\frac {1-\sin \theta }{2}}}$
餘的餘矢	${\displaystyle \mathrm {covercosin} \;\theta =1+\sin \theta }$	餘的半餘矢	${\displaystyle \mathrm {hacovercosin} \;\theta ={\frac {1+\sin \theta }{2}}}$
外正割	${\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta =\sec \theta -1}$	外餘割	${\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta =\csc \theta -1}$
弦函數	${\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足

${\displaystyle y''+y=0\,}$

就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这條方程的解的二维向量空间${\displaystyle V}$中，正弦函数是满足初始条件${\displaystyle y(0)=0}$和${\displaystyle y'(0)=1}$的唯一解，而余弦函数是满足初始条件${\displaystyle y(0)=1}$和${\displaystyle y'(0)=0}$的唯一解[16]。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了${\displaystyle V}$的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这條微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足${\displaystyle y''=-y\,}$，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。

正切函数是非线性微分方程

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,}$

满足初始条件${\textstyle y(0)=0}$的唯一解。有个非常有趣的形象证明证明了正切函数满足这微分方程，参见的Visual Complex Analysis。[17]

弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的

${\displaystyle f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,}$

则导数将正比于“振幅”。

${\displaystyle f'(x)=k\cos(kx)\,}$。

这里的${\displaystyle k}$是表示在单位之间映射的常数。如果${\displaystyle x}$是度，则

${\displaystyle k={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$。

如果${\displaystyle x}$是圈（轉，${\displaystyle 2\pi }$弧度，${\displaystyle 360}$度），則

${\displaystyle k=2\pi }$

这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程

${\displaystyle y''=-y\,}$，

但满足

${\displaystyle y''=-k^{2}y\,}$；

对余弦也是类似的。

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数${\displaystyle \sin }$和${\displaystyle \cos }$使得对于所有实数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，下列方程成立[18]：

${\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1,\,}$

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin \!x\cos \!y+\cos \!x\sin \!y,\,}$

${\displaystyle \cos(x+y)=\cos \!x\cos \!y-\sin \!x\sin \!y,\,}$

并满足附加条件

${\displaystyle 0<x\!\cos \!x<\sin \!x<x\ \mathrm {for} \qquad 0<x<1}$。

从其他函数方程开始的推导也有可能，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

大小为${\displaystyle 30^{\circ }}$和${\displaystyle 45^{\circ }}$的整数倍的${\displaystyle \theta }$角和它们的精确正弦和余弦值标注在单位圆上。${\displaystyle \theta }$角均用弧度制和角度制表示。${\displaystyle \theta }$角所对应的单位圆上的点的坐标为（${\displaystyle \cos \theta }$，${\displaystyle \sin \theta }$）

特殊角度可用勾股定理（即毕氏定理）人手輕易计出三角函数的值。${\displaystyle \pi /60}$弧度（3°）的任何整数倍之正弦、余弦和正切都可人手计算。以下是常用的特殊函数值[23]。

函数	${\displaystyle 0\ (0^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}\ (15^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}\ (75^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })}$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$

注：${\displaystyle \pm \infty }$有时会写作无定义（不存在）。

利萨茹（Lissajous）曲线，一种三角基的函数形成的图像

正弦定理声称对于边长为${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$而相应角为${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$的三角形，有[25]：

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

其中${\displaystyle R}$是三角形的外接圆半径。正弦定理用于计算已知两角和一边时三角形的未知边长，是三角测量中常见情况，前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為0的情況。

余弦定理（也叫余弦公式）是托勒密定理的延伸[25]：

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$

也可表示为

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$。

余弦定理用于确定三角形已知两边和一角时未知的值。

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\dfrac {A+B}{2}}}{\tan {\dfrac {A-B}{2}}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}$

其中${\textstyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$为三角形的内切圆半径，${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$为三角形半周长。

谐波数目递增的方波的加法合成动画

三角函数在物理也重要，如用正弦和余弦函数描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影[27]。

三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常无限）和[28]；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数[29]

${\displaystyle x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left[(2k-1)t\right]} \over (2k-1)}}$。

右边动画可見，只用幾项就形成非常准确的估计。