介值定理

介值定理圖解

設 ${\displaystyle I=[a,b]}$，其中 ${\displaystyle a<b}$，且 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 ${\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)<0}$ 的實數 ${\displaystyle u}$，皆存在一實數 ${\displaystyle c\in (a,b)}$ 使得 ${\displaystyle f(c)=u}$。
• ${\displaystyle f(I)}$ 為一包含 ${\displaystyle f(a)}$ 與 ${\displaystyle f(b)}$ 的閉區間。

先证明第一种情况${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设${\displaystyle S}$为${\displaystyle [a,b]}$内所有${\displaystyle x}$的集合，使得${\displaystyle f(x)\leqslant u}$。那么${\displaystyle S}$是非空的，因为${\displaystyle a}$是${\displaystyle S}$的一个元素，且${\displaystyle S}$是上有界的，其上界为${\displaystyle b}$。于是，根据实数的完备性，最小上界${\displaystyle c=\mathrm {sup} }$ ${\displaystyle S}$一定存在。我们来证明${\displaystyle f(c)=u}$。

• 假设${\displaystyle f(c)>u}$。那么${\displaystyle f(c)-u>0}$，因此存在${\displaystyle \delta >0}$，使得当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$时，就有${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u}$，因为${\displaystyle f}$是连续函数。但是，这样一来，当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$时，就有${\displaystyle f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u}$（也就是说，对于${\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}$内的${\displaystyle x}$，${\displaystyle f(x)}$皆${\displaystyle >u}$）。但參照上述定義，因为${\displaystyle c=\mathrm {sup} }$ ${\displaystyle S}$, 因此存在${\displaystyle x'\in (c-\delta ,c]}$，使得${\displaystyle f(x')\leqslant u}$, 所以我们有：${\displaystyle f(x')>u}$ 并且${\displaystyle f(x')\leqslant u}$, 这显然是矛盾的。
• 假设${\displaystyle f(c)<u}$。根据连续性，存在一个${\displaystyle \delta >0}$，使得当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$时，就有${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)}$。那么对于${\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}$内的${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)<f(c)+(u-f(c))=u}$，因此存在大于${\displaystyle c}$的${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle f(x)<u}$，这与${\displaystyle c}$的定义矛盾。

因此${\displaystyle f(c)=u}$。

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$滿足${\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2}$，但不存在滿足${\displaystyle f(x)=0}$的有理數${\displaystyle x}$。

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数${\displaystyle f(x)}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，且${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$，则必存在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$使${\displaystyle f(\xi )=0}$成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。[1]

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于）
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.