柯西-歐拉方程

觀察可知${\displaystyle y=x^{r}}$是一個特定解：

${\displaystyle 0=x^{2}y''+bxy'+cy}$

${\displaystyle =x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}}$

${\displaystyle =(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}}$

因為${\displaystyle x^{r}=0}$若且唯若${\displaystyle x=0}$，所以要考慮二次方程${\displaystyle r^{2}+(b-1)r+c=0}$的解。

${\displaystyle r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).}$

設${\displaystyle p,q}$為二次方程的解。若${\displaystyle p,q}$不相等，${\displaystyle y}$的一般解則為${\displaystyle y=Ax^{p}+Bx^{q}}$。

若${\displaystyle p=q=(1-b)/2}$ ，其中一個特定解為${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$：

${\displaystyle x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}}$

${\displaystyle =x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)}$

代入${\displaystyle r=(1-b)/2}$便知右方括號內等於0。因此核實${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得：${\displaystyle y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}}$。

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