罗尔定理

罗尔定理的几何意义

首先，因为${\displaystyle f}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续，根据极值定理，${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点${\displaystyle a}$或${\displaystyle b}$处取得，由于${\displaystyle f(a)=f(b)}$，${\displaystyle f}$显然是一个常数函数。那么对于任一点${\displaystyle \xi \in (a,b)}$，我们都有${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$。

现在假设${\displaystyle f}$在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$处取得最大值。我们只需证明${\displaystyle f}$在该点导数为零。

取${\displaystyle x\in (a,\xi )}$，由最大值定义${\displaystyle f(\xi )\geq f(x)}$，那么${\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}$。令${\displaystyle x\rightarrow \xi ^{-}}$，则${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{-}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}$。因为${\displaystyle f}$在${\displaystyle \xi }$处可导，所以我们有${\displaystyle f'(\xi )\geq 0}$。

取${\displaystyle x\in (\xi ,b)}$，那么${\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}$。这时令${\displaystyle x\rightarrow \xi ^{+}}$，则有${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{+}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}$，所以${\displaystyle f'(\xi )\leq 0}$。

于是，結合兩者，${\displaystyle f'(\xi )=0}$。

${\displaystyle f}$在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$处取得最小值的情况同理。

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实数，f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限

${\displaystyle f'(x+):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

而左极限

${\displaystyle f'(x-):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

在扩展的实数轴[−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

${\displaystyle f'(c+)\quad }$和${\displaystyle \quad f'(c-)}$

中其中一个≥ 0，另一个≤ 0（在扩展的实数轴上）。如果对任何x左极限和右极限都相同，那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。

• 中值定理

维基共享资源上的相关多媒体资源：罗尔定理

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4