链式法则

兩函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 的定義域 (${\displaystyle D_{f}}$ 和 ${\displaystyle D_{g}}$) 、值域 (${\displaystyle I_{f}}$ 和 ${\displaystyle I_{g}}$) 都包含於實數系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，若可以定義合成函數 ${\displaystyle g\circ f}$ (也就是 ${\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }$ )，且 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a\in D_{f}}$ 可微分，且 ${\displaystyle g}$ 於 ${\displaystyle f(a)\in I_{f}\cap D_{g}}$ 可微分，則

${\displaystyle {(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)}$

也可以寫成

${\displaystyle {\frac {dg[f(x)]}{dx}}{\bigg |}_{x=a}={\frac {dg(y)}{dy}}{\bigg |}_{y=f(a)}\cdot {\frac {df}{dx}}{\bigg |}_{x=a}}$

求函数 ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}$的导数。

设 ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$

${\displaystyle h(g)=g^{3}\to h(g(x))=g(x)^{3}.}$

${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^{2}(2x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.}$

求函数 ${\displaystyle \arctan \,\sin \,x}$的导数。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}$

嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 都是实函数，若可以定義合成函數 ${\displaystyle g\circ f}$ 且

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$
• ${\displaystyle \lim _{y\to L}g(y)=g(L)}$

則有

${\displaystyle \lim _{x\to a}g[f(x)]=g(L)}$

只要展開極限的δ-ε定義，並考慮 ${\displaystyle f(x)}$ 等於或不等於 ${\displaystyle L}$ 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 ${\displaystyle G}$ ，其定義域 ${\displaystyle D_{G}=D_{g}}$ ， 而對應規則為

${\displaystyle G(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)}}&y\neq f(a)\\\\g^{\prime }[f(a)]&y=f(a)\end{cases}}}$

和一個函數 ${\displaystyle F}$ ，其定義域 ${\displaystyle D_{F}=D_{f}}$ ， 而對應規則為

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&x\neq a\\\\f^{\prime }(a)&x=a\end{cases}}}$

這樣，考慮到 ${\displaystyle g\circ f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 的導數是以下函數（定義域為${\displaystyle D_{g\,\circ f}}$）的極限

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=\lim _{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)}$

因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 連續、 ${\displaystyle G}$ 於 ${\displaystyle f(a)}$ 連續，故根據上面的極限定理有

${\displaystyle \lim _{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime }[f(a)]}$

而且針對一開始可微的前提有

${\displaystyle \lim _{x\to a}F(x)=f^{\prime }(a)}$

再根據乘法的極限性質有

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)}$

即為所求。 ${\displaystyle \Box }$

考虑函数z = f(x, y)，其中x = g(t)，y = h(t)，g(t)和h(t)是可微函数，那么：

${\displaystyle {\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.}$

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u = h(x, y)，v = g(x, y)，且这些函数都是可微的。那么，z的偏导数为：

${\displaystyle {\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}}$

${\displaystyle {\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.}$

如果我们考虑

${\displaystyle {\vec {r}}=(u,v)}$

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与${\displaystyle {\vec {r}}}$的偏导数的数量积：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}.}$

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

${\displaystyle {\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}.}$

复合函数的最初几个高阶导数为：

${\displaystyle {\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.}$

• 乘积法则
• 除法定则