菱形十二面體

菱形十二面體的對偶多面體——截半立方體是一個阿基米德立體，具有點可遞的性質，因此菱形十二面體具有面可遞的性質，這意味著這個幾何形狀的對稱群可在各個面上傳遞，換句話說，這立體上的任意兩個面A和B，若透過旋轉或鏡射這個立體，使A移動到B原來的位置時，而兩個面仍然佔據了相同的空間區域[13]。

同理，菱形十二面體具有邊可遞的特性，這意味著，這立體上的任意兩條稜A和B，透過旋轉或鏡射這個立體，使A移動到B原來的位置時，其稜以及其二面角仍然佔據了相同的空間區域[14][15][16]。菱形十二面體是9個邊可遞的凸多面體之一，其他8個分別是五個柏拉圖立體、截半立方體、截半二十面体和菱形三十面體。

菱形十二面體由12個全等的菱形組成，這個菱形的長對角線都是短對角線的√2倍，其中鋭角的角度則為arccos(1/3)約為70.53°，鈍角的角度則為 109.47°[17][1]^:5，兩條對角線長度與一邊長的比為 ${\displaystyle {\sqrt {2}}:1:{\sqrt {3}}/2}$[18]。

若菱形十二面體的邊長為a，則其內切球半徑為：[19][註 2]

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816\,496\,5809a\,}$ （OEIS數列A157697）

邊心距為：[19][註 4]

${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.942\,809\,041\,58a\,}$ （OEIS數列A179587）

外接球半徑為：

${\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.154\,700\,538a\,}$ （OEIS數列A020832）

若菱形十二面體的邊長為a，則其表面積A及體積V為：[19][註 6]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11.313\,7085a^{2}\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3.079\,201\,44a^{3}\end{aligned}}}$

若令其對偶多面體——截半立方體邊長為單位長，則菱形十二面體的邊長為${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}}$，則其體積V為[19]：

${\displaystyle V={\frac {27{\sqrt {2}}}{16}}\approx 2.386\,485\,386\,5}$[19]

五角十二面體（Pyritohedron[20]）是介於立方體和菱形十二面體之間的變體

菱形十二面體的擴展

三個菱形之公共頂點（共8個）其頂點坐標為[4]：

(±1, ±1, ±1)

另外6個頂點為四個菱形之公共頂點，其頂點坐標為[4]：

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2)

菱形十二面體可以是為五角十二面體的退化限制，其頂點坐標可表示為(±1, ±1, ±1)與(0, 1 + h, 1 − h²)，其中h = 1。

菱形十二面體是一種平行多面體，具有可以獨立填滿三維空間的性質，其所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌或平行十二面體堆砌[23]，其對偶可能為半立方體堆砌或由四面體和八面體組成的堆砌。

由菱形十二面體堆砌而成的幾何結構

平行十二面體可由四對等長的邊組成。

常見的由菱形組成的平行十二面體有二面體群菱形十二面體。

二面體群菱形十二面體是一種具有與一般菱形十二面體不同對稱性的平行十二面體，同樣可以獨立填滿三維空間，其所形成的幾何結構類似於截角八面體堆砌的一個變種[24]。

其中一個二面體群菱形十二面體例子，例如由4個正方形和8個60度菱形所組成的平行十二面體，其具有D_4h二面體群對稱，且階數為16，其外型看起來與頂面和底面擺入正四角錐的截半立方體類似。

展開圖

頂點座標 (0, 0, ±2) (±1, ±1, 0) (±1, 0, ±1) (0, ±1, ±1)

依據其對稱性將比林斯基十二面體之前面的面與寬邊著上顏色。

依照互相平行的邊著色

比林斯基十二面體（）又稱為第二種菱形十二面體（[25][26]），是菱形十二面體的另一種基於平行十二面體的變種，由斯坦科·比林斯基於1960年發現。

比林斯基十二面體同樣由12個菱形組成，但構成此幾何體的菱形有兩種：其中一種菱形對角線比為2個平方根，另一種菱形對角線比為黃金比例[27][28]。

面的種類

第一種	第二種
√2:1	√5 + 1/2:1

部分多面體與菱形十二面體拓樸同構，例如平行十二面體，亦有一些非菱形組成的十二面體與菱形十二面體拓樸同構，例如鳶形十二面體。

數組(a,b)為(3/4,3/2)定義出的鳶形十二面體之展開圖

鳶形十二面體[30][31][32]是一種由12個全等的鳶形組成的十二面體，具有面可遞的性質，並具24階四面體群對稱性。

鳶形十二面體可以視為將菱形十二面體的菱形面變形成鳶形的結果。形變的方式是透過調整菱形十二面體的8個頂點，另外四個頂點保持正四面體的布局位置。其形變量可透過一個數組(a,b)來表示，當a和b皆為1時則為菱形十二面體，a表示保持著正四面體的布局位置的頂點，可以逐漸向1/2趨近，向1/2趨近的意義表示其頂點逐漸移向幾何中心；而b的值取決於a，需要使移動時能夠成平面的鳶形而非扭歪多邊形，其值會向正無窮大逼近。這種情形下，其頂點坐標可以表示為：

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

(a, a, a), (−a, −a, a), (−a, a, −a), (a, −a, −a)

(−b, −b, −b), (−b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)

下表列出部分數組(a,b)所形成的鳶形十二面體圖像：

數組(a,b)	(1,1)	(7/8,7/6)	(3/4,3/2)	(2/3,2)	(5/8,5/2)	(9/16,9/2)
圖像

透過將菱形十二面體切割為12個菱形錐可以重新組合成第一種星形菱形十二面體。

如同其他的凸多面體，菱形十二面體也可以透過延伸面或邊，直到它們相遇形成新的多面體來進行星形化。多爾曼·露可（Dorman Luke）在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體[33]。較廣為人知的是他提出的第一種多面體，其名稱可以簡略地稱為「第一種星形菱形十二面體」。這種多面體可以視為將適當錐高的菱形錐（底面為菱形的四角錐）疊在菱形十二面體的每一個菱形面上，並且讓錐高高於鄰近的面來構造：

• 
  第一種星形菱形十二面體
• 
  第一種星形菱形十二面體的三維模型

對偶複合體是由一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形。菱形十二面體與其對偶的複合體為複合截半立方體菱形十二面體。其共有26個面、48條邊和26個頂點，其尤拉示性數為4，虧格為-1[34]。

截去所有頂點後的菱形十二面體稱為截角菱形十二面體。

截角菱形十二面体

若将菱形十二面体的六个发出四条棱的顶点截去可以獲得倒角立方體[35]。

倒角立方體	倒角立方體的展开图

另外若将菱形十二面体的八个发出三条棱的顶点截去可以獲得倒角八面體[6][36]。

菱形十二面體截角的結果及其相關多面體

倒角立方體	菱形十二面體	倒角八面體
四角化截半立方體	截半立方體	三角化截半立方體

菱形十二面體可以獨立填滿三維空間，其所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌。[23]

菱形十二面體圖有24條邊和14個頂點，其中度為3的頂點有8個；度為4的頂點有6個。

• 菱形十二面體圖的特徵多項式為[37]：

  ${\displaystyle (x-2)^{3}x^{6}(x+2)^{3}(x^{2}-12)}$

• 色多項式為[37]

  (x-1) x (x¹²-23 x¹¹+253 x¹⁰-1759 x⁹+8615 x⁸-31361 x⁷+87205 x⁶-187127 x⁵+308232 x⁴-380364 x³+333138 x²-184963 x+48831)