如何解三次方程

共同创作者是 wikiHow员工

三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

方法 1

方法 1 的 3:

解不含常数项的三次方程

$Step 1 检查三次方程，看是否包含常数项 d {\displaystyle d} 。$

1
检查三次方程，看是否包含常数项 $d$ 。三次方程的形式为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 。但是，唯一必要的关键项是 $x^{3}$ $x^{3}$ ，这意味着三次方程中未必会出现其他项。^{[1]
X
研究来源}
- 如果方程中包含常数项 $d$ ，那么你就必须使用其它解法。
- 如果 $a=0$ ，那么这个方程就不是三次方程。^{[2]
  X
  研究来源}
$Step 2 提取方程的公因式 x {\displaystyle x} 。$

2
提取方程的公因式 $x$ 。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量 $x$ $x$ 。也就是说，可以提取方程的公因式 $x$ $x$ 来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为 $x(ax^{2}+bx+c)$ $x(ax^{2}+bx+c)$ 。^{[3]
X
研究来源}
- 例如，假设我们一开始要解的方程是 $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$ 。
- 提取方程的公因式 $x$ ，得到 $x(3x^{2}-2x+14)=0$ 。
3
如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式 $x$ $x$ 后得到的二次方程 $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ 都能被因式分解。例如，如果要解 $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ ，你可以：^{[4]
X
研究来源}
- 提取公因式 $x$ ： $x(x^{2}+5x-14)=0$
- 将括号内的二次方程因式分解： $x(x+7)(x-2)=0$
- 设各因式等于 $0$ 。得到方程的解 $x=0,x=-7,x=2$ 。
4
如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将 $a$ $a$ 、 $b$ $b$ 、 $c$ $c$ 的值代入二次公式( ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ )中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。^{[5]
X
研究来源}
- 示例中，将 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值 $3$ 、 $-2$ 和 $14$ 分别代入到以下二次公式：
  
  ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$
- 解1:
  
  ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$
  
  ${\frac {2+12.8i}{6}}$
- 解2:
  ${\frac {2-12.8i}{6}}$
5
零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为 $0$ $0$ 。^{[6]
X
研究来源}
- 将方程分解为包含两个因式的形式 $x(ax^{2}+bx+c)=0$ ，左边的因式是变量 $x$ ，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于 $0$ ，则整个方程等于 $0$ 。
- 因此，使括号内的二次因式等于 $0$ 的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于 $0$ 的 $0$ 本身，也是三次方程的解。
广告

方法 2

方法 2 的 3:

使用因数表求整数解

$Step 1 确保三次方程有一个 d {\displaystyle d} 值不等于零的常数项。$

1
确保三次方程有一个 $d$ 值不等于零的常数项。如果形式为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 的方程拥有一个不等于零的 $d$ $d$ 值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。^{[7]
X
研究来源}
- 以方程 $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ 为例。这个方程中，要让等号的右边等于 $0$ ，你需要两边都加 $6$ 。
- 得到新的方程 $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$ 。由于 $d=6$ ，你无法使用二次方程方法。
2
找出 $a$ 和 $d$ 的因数。要解三次方程，我们需要先关注 $x^{3}$ $x^{3}$ 项的系数 $a$ $a$ 以及方程最后的常数项 $d$ $d$ ，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。^{[8]
X
研究来源}
- 例如，由于你可以用 $6\times 1$ 和 $2\times 3$ 得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
- 例题中， $a=2$ ，而 $d=6$ 。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
3
用 $a$ 的因数除以 $d$ 的因数。将 $a$ $a$ 的各因数除以 $d$ $d$ 的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。^{[9]
X
研究来源}
- 例题中，用 $a$ 的因数1和2除以 $d$ 的因数1、2、3、6，得到： $1$ ， ${\frac {1}{2}}$ ， ${\frac {1}{3}}$ ， ${\frac {1}{6}}$ ， $2$ 和 ${\frac {2}{3}}$ 。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整： $1$ ， $-1$ ， ${\frac {1}{2}}$ ， $-{\frac {1}{2}}$ ， ${\frac {1}{3}}$ ， $-{\frac {1}{3}}$ ， ${\frac {1}{6}}$ ， $-{\frac {1}{6}}$ ， $2$ ， $-2$ ， ${\frac {2}{3}}$ 和 $-{\frac {2}{3}}$ 。三次方程的整数解就在其中。
4
手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于 $0$ $0$ ，进而求出方程的解。例如，如果将 $1$ $1$ 代入方程，可以得到：^{[10]
X
研究来源}
- $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ ，即 $2+9+13+6$ ，结果不等于 $0$ 。因此，使用得到的下一个值。
- 如果将 $-1$ 代入方程，得到 $(-2)+9+(-13)+6$ ，结果等于 $0$ 。这意味着 $-1$ 是方程的一个整数解。
5
使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以 $a$ $a$ 、 $b$ $b$ 、 $c$ $c$ 和 $d$ $d$ 。如果得到余数 $0$ $0$ ，那么这个值就是三次方程的解。^{[11]
X
研究来源}
- 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- 由于得到的最终余数为 $0$ ，由此可知， $-1$ 是三次方程的一个整数解。
广告

方法 3

方法 3 的 3:

使用判别式方法

1
写下 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下 $a$ $a$ 、 $b$ $b$ 、 $c$ $c$ 和 $d$ $d$ 的值，免得之后混淆。^{[12]
X
研究来源}
- 对于例题 $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ ，写下 $a=1$ 、 $b=-3$ 、 $c=3$ 和 $d=-1$ 。注意，如果有 $x$ 变量前没有系数，这代表它的系数为 $1$ 。
2
使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式 $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ 中，求出第一个重要数值，即判别式零 $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ 。^{[13]
X
研究来源}
- 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是( $b^{2}-4ac$ )。
- 例题中的计算过程如下：
  
  $b^{2}-3ac$
  
  $(-3)^{2}-3(1)(3)$
  
  $9-3(1)(3)$
  
  $9-9=0=\Delta _{0}$
3
然后，计算 $\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ 。你需要的下一个重要数值是判别式 $1$ $1$ ，即 $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ ，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与 $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ 基本相同。将适当的值代入到公式 $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ 中，得到 $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ 的值。^{[14]
X
研究来源}
- 例题中的计算过程如下：
  
  $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$
  
  $2(-27)-9(-9)+27(-1)$
  
  $-54+81-27$
  
  $81-81=0=\Delta _{1}$
4
计算: $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ 。然后，我们会使用 $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ 和 $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ 的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。^{[15]
X
研究来源}
- 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
- 例题中，由于 $\Delta _{0}$ 和 $\Delta _{1}$ 都等于 $0$ ，所以 $\Delta$ 的计算相对简单。计算过程如下：
  
  $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$
  
  $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$
  
  $0-0\div 27$
  
  $0=\Delta$ ，所以方程有一个或两个解。
5
计算: $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ 。最后一个需要计算的重要数值是 $C$ $C$ 。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ 和 $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ 。
- 例题中， $C$ 的计算过程如下：
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$
  
  $0=C$
6
使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式 $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ 计算，其中 $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ ，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
- 你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
- 例如，将1代入到 $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ 中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。
广告