夾擠定理

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$，

在任何包含0的區間上，除了${\displaystyle x=0}$，${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此${\displaystyle f(x)}$的絕對值也不大於${\displaystyle x^{2}}$。設${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$, ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$：

${\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}$

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}$

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0}$，根據夾擠定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}$。

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}$，

首先用幾何方法證明：若${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$，${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}$。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。${\displaystyle C}$在${\displaystyle OD}$上，使得${\displaystyle AC}$垂直${\displaystyle OD}$。過${\displaystyle A}$作單位圓的切線，與${\displaystyle OD}$的延長線交於${\displaystyle E}$。

由定義可得${\displaystyle x=\angle AOD=arcAD}$，${\displaystyle \tan x=AE}$。

${\displaystyle AC<AD<arcAD}$

${\displaystyle \sin x<x}$

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}$

${\displaystyle arcAD<AE}$

${\displaystyle x<\tan x}$

${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}$

因為${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1}$，根據夾擠定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1}$。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是${\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx}$，現在要求的是${\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$。

被積函數對於y軸是對稱的，因此${\displaystyle I(\infty )}$是被積函數對於所有實數的積分的一半。

${\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy}$

這個二重積分在一個${\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)}$的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }$

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }$

${\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

若${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle g(x)=0}$，而且${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$。

設${\displaystyle \varepsilon >0}$，根據函數的極限的定義，存在${\displaystyle \delta >0}$使得：若${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$，則${\displaystyle |h(x)|<\varepsilon }$。

由於 ${\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$，故${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|}$。

若 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$，則${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }$。於是，${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$。

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)}$

當${\displaystyle x\to a}$：

${\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}$

根據上面已證的特殊情況，可知${\displaystyle f(x)-g(x)\to 0}$。

${\displaystyle f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L}$。