驻点

在分析力學裏，虛功原理闡明，對於一個靜態平衡系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等於零，以方程式表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,}$；

其中，${\displaystyle \delta W\,}$是虛功，${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$是第${\displaystyle i\,}$個外力，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$是對應於${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$的虛位移。

轉換為以廣義力${\displaystyle F_{i}\,}$和廣義坐標${\displaystyle q_{i}\,}$表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}F_{i}\delta q_{i}=0\,}$；

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是一個純量的廣義位勢函數${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$的對於其對應的廣義坐標的導數：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\,}$。

虛功與廣義位勢的關係為

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0\,}$。

所以，一個靜態平衡系統的位勢${\displaystyle V\,}$乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這這系統處於穩定狀態，則位勢${\displaystyle V\,}$必須是個局域極小值。

在變分法裏，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式。設定

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$取得局部平穩值，則在區間${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$內對於所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\,\!}$，歐拉-拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\,\!}$。

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