正二十面體

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。

正十二面體是正二十面體的對偶多面體。

若有一個邊長為a的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為：

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a}$ A019881

則有內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：

${\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a}$ A179294

另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那它的半徑為：

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a}$ A019863

其中φ （也稱作τ）為黃金比例。

若用A表示表面積、V表示體積，而a是正二十面體的邊長，則有：

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},}$ A010527

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.}$ A102208

後者約為正四面體的F=20倍，因為20面體以外接球球心為中心可以切割出20個四面體，每個四面體的體積是底面積 √3a²/4乘上高r_i再乘三分之一。

正二十面體佔其外接球體的體積填充率是：

${\displaystyle f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.}$

正二十面體的頂點能共同分成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

在直角坐標系中，一個邊長為二、幾何中心在原點的正二十面體的坐標分別為：[1]

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

其中φ = 1 + √5/2是黃金比例（或記為τ）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成博羅梅安環，其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。 如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是√5 − 1/2，正好是一個黃金比例。

一個由塑膠棒和磁鐵與金屬球連接的正二十面體模型

12條邊的一個正八面體可以被細分在黃金比例，使所得到的頂點可構成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。

正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。

正交投影

正对于	面	棱	顶点
考克斯特平面	A2	A3	H3
图像
投影 对称性	[6]	[2]	[10]
图像	面法线	棱法线	对角线

• 正二十面体有43,380种不同的展开图。
• 若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色。
• 内接与同一球的正二十面体和正十二面体，正二十面体所占球的体积（60.54%）要小于正十二面体所占的体积（66.49%）。

正二十面体 H3考克斯特平面	六维正轴体 D6考克斯特平面
这个操作可以以几何的观点被看作六维正轴体的12个顶点投影到三维空间。这代表着一个D6到H3考克斯特群的几何折叠： 见这些二维考克斯特平面正交投影，中间投影后重合的两个顶点给出了这个图像中的第三根轴

以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}$中的复杂计算。
正二十面体的存在性依赖于${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中6条等夹角线的存在性。事实上，我们很容易便可以发现，这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交，得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑，假设这里存在一个正二十面体，它的6对相对顶点的连线（对角线）就形成了那样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统，我们开始于一个6×6方形矩阵。

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

通过直接的计算，我们可以得出A²=5I（在这里I是6×6单位矩阵）。这表明矩阵I的特征值是√5和-√5，并且它们的复杂性都是3，因为A是对称的，并且它的迹是0。
矩阵${\displaystyle \scriptstyle A+{\sqrt {5}}I}$在商空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)}$中引出了一个同构于${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的欧几里得结构因为它的核${\displaystyle \ker(A+{\sqrt {5}}I)}$是三维的。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$中，它的六条坐标轴线${\displaystyle \mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}}$在投影${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)} 下的图像形成了这样一个在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角${\displaystyle \scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}}$。±v₁，...，±v₆向A的√5-特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。
正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A₅的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。

正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱正四面体，具有手征性正四面体对称性；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有五角十二面体对称性。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体是五角十二面体的对偶。

名称	正二十面体	交错 截角八面体	扭棱 正四面体	正五 双锥反柱体
考克斯特-迪肯
施莱夫利符号	{3,5}	h0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符号	5 | 3 2		| 3 3 2
对称性	Ih [5,3] (*532)	Th [3+,4] (3*2)	T [3,3]+ (332)	D5d [2+,10] (2*5)
对称群阶	60	24	12	10
半正涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

正二十面体是正二十面体家族的一员：

正二十面体家族半正多面体

對稱群: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员：

正四面体家族半正多面体

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联：

多面体				欧式镶嵌	双曲镶嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面鑲嵌		雙曲面鑲嵌
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布：

图像	大十二面体	小星形十二面体	大二十面体
考克斯特-迪肯符号

虽然由于正二十面体的二面角太大（约138.189685°>120°），因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间，但它可以密铺适当的双曲空间，称为三阶正二十面体堆砌，每条棱处有三个正二十面体相交，每个顶点处有12个正二十面体相交，因此顶点图是正十二面体，施莱夫利符号{3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。

这里我们用庞加莱圆盘模型上的线架来表示它，中心的正二十面体被涂上了颜色。

類別	柏拉圖立體					卡塔蘭立體
種子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO	cD	cI	caC	caD

二十面的骰子

電子顯微鏡下觀察的金原子

γ-硼的結構

由於正二十面體非常均勻，且有20個面，因此適合作成骰子。

在生物學中

噬菌体

某些病毒，如疱疹病毒科、諾羅病毒、腺病毒和噬菌体等，擁有正二十面體的衣殼。[2][3]在有些細菌中還發現具有二十面體形狀的各種細菌的胞器，[4]二十面體的殼包住酶和不穩定的中間產物，該殼由具BMC結構域的不同蛋白質構成。

1904年，恩斯特·海克尔發表了一些放射蟲的種類，包括Circogonia二十面體（Circogonia icosahedra），其骨架的形狀像一個正二十面體。